Theory
પ્રતિબિંબ અને ત્રાંસાપણું
Translate, scale અને rotate ઉપરાંત બીજાં બે transformations 2D ની ઓજારપેટી પૂરી કરે છે: reflection (આકારનું પ્રતિબિંબ પાડવું) અને shearing (એને ત્રાંસો કરવો). બીજાંની જેમ આ બંને પણ દરેક બિંદુ (x, y) ને સાદા નિયમથી બદલે છે, અને પરીક્ષામાં બંને વારંવાર પુછાય છે.
આ છેલ્લો પાઠ એમને ગણેલા દાખલા સાથે આવરી લે છે. Reflection યામનું ચિહ્ન બદલીને કે યામ અદલાબદલી કરીને આકારને કોઈ યામાક્ષ કે રેખાની આરપાર ઉલટાવે છે; shearing બિંદુઓને એમના સ્થાનના પ્રમાણમાં આડા ખસેડે છે. પાયાનાં ત્રણ સાથે મળીને એ તમને પ્રમાણભૂત 2D transformations નો પૂરો સમૂહ આપે છે.
Theory
Reflection: આકારનું પ્રતિબિંબ
Reflection કોઈ યામાક્ષ કે રેખાની આરપાર અરીસા જેવું પ્રતિબિંબ આપે છે. સામાન્ય કિસ્સા:
- x-અક્ષ ની આસપાસ: (x, y) બને (x, -y), એટલે કે y-યામનું ચિહ્ન બદલાય.
- y-અક્ષ ની આસપાસ: (x, y) બને (-x, y), એટલે કે x-યામનું ચિહ્ન બદલાય.
- મૂળબિંદુ ની આસપાસ: (x, y) બને (-x, -y), એટલે કે બંનેનું ચિહ્ન બદલાય.
- રેખા y = x ની આસપાસ: (x, y) બને (y, x), એટલે કે યામ અદલાબદલી થાય.
દાખલો: (2, 3) નું x-અક્ષ ની આસપાસ પ્રતિબિંબ પાડતાં મળે (2, -3), એટલે કે આકાર અક્ષની નીચે ઉલટાય છે. (2, 3) નું y = x ની આસપાસ પ્રતિબિંબ પાડતાં મળે (3, 2), એટલે કે યામ અદલાબદલી થાય છે. Reflection એટલે ફક્ત ચિહ્નનો ફેરફાર કે યામની અદલાબદલી.
Theory
Shearing: આકારને ત્રાંસો કરવો
Shearing આકારને ત્રાંસો કરે છે અને લંબચોરસને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવી દે છે. બિંદુઓ એક દિશામાં એટલા ખસે છે જેટલું એમનું બીજી દિશામાંનું સ્થાન પ્રમાણમાં હોય.
x-દિશાનું shear બિંદુઓને એમના y (ઊંચાઈ) ના પ્રમાણમાં આડા ખસેડે છે:
x' = x + shx ગુણ્યા y, y' = y
દાખલો: (2, 3) ને x માં 2 ના factor થી shear કરતાં x' = 2 + 2 ગુણ્યા 3 = 8, y' = 3, એટલે (2, 3) બને (8, 3); બિંદુ જેટલું ઊંચું, એટલું વધુ જમણે સરકે. y-દિશાનું shear આનું ઊંધું કરે છે: y' = y + shy ગુણ્યા x, x' = x, એટલે કે બિંદુઓ એમના x ના પ્રમાણમાં ઉપર સરકે છે. Shear એટલે પ્રમાણસર સરકવું, ઉલટાવું નહીં.
At a glance
| Transformation | નિયમ | અસર |
|---|---|---|
| x-અક્ષની આસપાસ પ્રતિબિંબ | (x, y) -> (x, -y) | x-અક્ષની નીચે કે ઉપર પ્રતિબિંબ |
| y-અક્ષની આસપાસ પ્રતિબિંબ | (x, y) -> (-x, y) | y-અક્ષની ડાબે કે જમણે પ્રતિબિંબ |
| y = x ની આસપાસ પ્રતિબિંબ | (x, y) -> (y, x) | યામ અદલાબદલી (વિકર્ણની આરપાર પ્રતિબિંબ) |
| x માં shear | x' = x + shx ગુણ્યા y, y' = y | y ના પ્રમાણમાં આડું ત્રાંસાપણું |
| y માં shear | y' = y + shy ગુણ્યા x, x' = x | x ના પ્રમાણમાં ઊભું ત્રાંસાપણું |
Quiz
બિંદુ (2, 3) પર 2 ના factor વાળું x-દિશાનું shear લગાડતાં, જ્યાં x' = x + 2y અને y' = y, કયું બિંદુ મળે?
- (2, 8), એટલે કે એને બદલે y ને shear કરીને
- (8, 3), કારણ કે x' = 2 + 2(3) = 8 અને y' = 3
- (2, 3), એટલે કે કશો ફેર નહીં
- (2, -3), એટલે કે પ્રતિબિંબ
Show the answer
(8, 3), કારણ કે x' = 2 + 2(3) = 8 અને y' = 3
x-દિશાનું shear x' = x + shx ગુણ્યા y અને y' = y વાપરે છે. shx = 2 અને બિંદુ (2, 3) સાથે: x' = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8, અને y' = 3, એટલે મળે (8, 3). વિકલ્પ A ખોટા યામને shear કરે છે (એ તો y-દિશાનું shear થાય). વિકલ્પ C ખોટો છે: shear બિંદુને બદલે જ છે (x, 2 થી 8 પર ખસે છે). વિકલ્પ D, એટલે કે (2, -3), x-અક્ષની આસપાસનું પ્રતિબિંબ છે, shear નહીં. x-shear માં આડું સ્થાન y ના પ્રમાણમાં ખસે છે (અહીં 2 ગુણ્યા 3 = 6), એટલે ઊંચાં બિંદુઓ વધુ જમણે સરકે છે.
Think first
Reflection અને shear આગલા પાઠની matrix ની રીતમાં કઈ રીતે બેસે છે?
પાયાનાં transformations matrices બન્યાં હતાં. Reflection અને shear પણ matrices છે? અને એનું મહત્ત્વ શું? વિચારીને પછી tap કરો.
Show the answer
હા, reflection અને shearing પણ રેખીય transformations છે અને એમને matrices તરીકે લખી શકાય છે; એટલે 2D ની આખી ઓજારપેટી, એટલે કે translate, scale, rotate, reflect અને shear, એક જ સરખા matrix ના માળખામાં વસે છે, જ્યાં transformations ગુણાકારથી ભેગાં થાય છે.
દાખલા તરીકે x-અક્ષની આસપાસનું reflection એ એવી matrix છે જે (x, y) ને (x, -y) પર લઈ જાય છે: એની હરોળો છે [1 0][0 -1] (અથવા homogeneous 3x3 સ્વરૂપમાં વધારાની [0 0 1] હરોળ સાથે). y = x ની આસપાસનું reflection યામ અદલાબદલી કરે છે, એટલે matrix ની હરોળો [0 1][1 0]. shx ના factor વાળું x-shear એ matrix [1 shx][0 1] છે, જે (x,y) ને (x + shx ગુણ્યા y, y) પર લઈ જાય છે.
આ દરેક matrix હોવાથી (અને homogeneous coordinates ને લીધે translation પણ), તમને આગલા પાઠમાં વર્ણવેલો એ જ શક્તિશાળી લાભ મળે છે: તમે એમના કોઈ પણ ક્રમને, જેમ કે પહેલાં reflect, પછી shear, પછી rotate, પછી translate, એમની matrices ગુણીને એક જ ભેગી matrix માં ભેગો કરી શકો છો, અને પછી એ એક જ matrix આકારના દરેક બિંદુ પર લગાડી શકો છો.
એટલે જ computer graphics માં matrix વાળી માંડણી આટલી કેન્દ્રમાં છે: એ ભૌમિતિક ક્રિયાઓના આખા વૈવિધ્યસભર કુટુંબને એક જ સુસંગત ક્રિયામાં (matrix નો ગુણાકાર) ફેરવી નાખે છે, સાદાં transformations માંથી ગૂંચવણભર્યાં રચવા દે છે, અને એમને ઘણાં બિંદુઓ પર લગાડવાનું ઝડપી તથા એકસરખું બનાવે છે.
એટલે reflection અને shear system ની બહારના ખાસ કિસ્સા નથી; એ સીધાં એ જ matrix ની યંત્રરચનામાં ગોઠવાઈ જાય છે અને ચોખ્ખી, એકસૂત્ર ઓજારપેટી પૂરી કરે છે. દરેક પ્રમાણભૂત 2D transformation એ matrix છે, એટલે એ બધાં ગુણાકારથી ભેગાં થાય છે, અને graphics માં transformation ની ભૂમિતિનું સુંદર હૃદય એ જ છે.
Theory
BCA601-03 પૂરું
તમે computer graphics ને ઉપરથી નીચે સુધી પગેરે ચાલ્યા: એ શેના માટે વપરાય છે, displays અને files ચિત્રો કઈ રીતે રજૂ કરે છે (raster સામે vector), લીટી pixel પ્રમાણે કઈ રીતે ગણાય છે (DDA અને Bresenham), અને matrices તથા homogeneous coordinates વાપરીને transformations થી આકારો કઈ રીતે ફેરવાય છે (translate, scale, rotate, reflect, shear). વિષયનો આખો ચાપ આ જ છે. Algorithm અને matrix વાળા બે units પરીક્ષાનું હૃદય છે; ગણેલા દાખલાનો ત્યાં સુધી મહાવરો કરો જ્યાં સુધી pixels અને matrices દર વખતે સાચાં ન આવે. શાબાશ.
Summary
Key takeaways
- Reflection આકારનું પ્રતિબિંબ પાડે છે: x-અક્ષની આસપાસ (x,y)->(x,-y), y-અક્ષની આસપાસ (x,y)->(-x,y), મૂળબિંદુની આસપાસ (x,y)->(-x,-y), y=x ની આસપાસ (x,y)->(y,x).
- ગણેલું: (2,3) નું x-અક્ષની આસપાસ પ્રતિબિંબ આપે (2,-3); (2,3) નું y=x ની આસપાસ પ્રતિબિંબ આપે (3,2).
- Shearing આકારને ત્રાંસો કરે છે: x-shear માં x' = x + shx ગુણ્યા y, y' = y (ઊંચાઈના પ્રમાણમાં); y-shear માં y' = y + shy ગુણ્યા x, x' = x.
- ગણેલું: (2,3) પર 2 ના factor વાળું x-shear આપે (2 + 2 ગુણ્યા 3, 3) = (8,3).
- Reflection એટલે ચિહ્નનો ફેરફાર કે યામની અદલાબદલી; shear એટલે પ્રમાણસર સરકવું (ત્રાંસાપણું, ઉલટાવું નહીં).
- Reflection અને shear પણ matrices છે, એટલે બધાં પ્રમાણભૂત 2D transformations matrix ના ગુણાકારથી ભેગાં થાય છે.
- યાદ રાખવાની કડી: reflection ઉલટાવે (ચિહ્ન બદલે કે યામ અદલાબદલી કરે), shear પ્રમાણસર ત્રાંસું કરે; અને બધાં transformations matrices જ છે.