Theory
The canteen combo question
हमारी canteen में 2 drinks मिलती हैं {tea, coffee} और 3 snacks {samosa, vadapav, sandwich}. तो बताइए, कितने अलग अलग (drink, snack) combos बन सकते हैं?
जवाब आपको feel हो रहा होगा: हर drink हर snack के साथ जाएगी, यानी 2 × 3 = 6.
Mathematics में इस पूरी combos की list को Cartesian product कहते हैं, और यही एक idea है जिस पर graphs, relations और database joins खड़े होते हैं।
Theory
Every row meets every column
एक table की कल्पना कीजिए: drinks side में नीचे की तरफ, और snacks ऊपर across में। table का हर cell एक pairing है। Cartesian product असल में यही table है, जिसे pairs के set के रूप में लिखा जाता है। इसीलिए count गुणा होती है: rows × columns cells।
Theory
The definition
किन्हीं 2 sets A और B के लिए Cartesian product ये है:
A × B = वो set जिसमें सारे ordered pairs (a, b) आते हैं, जहाँ a ∈ A और b ∈ B
Example: A = {1, 2}, B = {x, y}
A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}
यहाँ key word है "ordered": पहला slot हमेशा A से आएगा, और दूसरा हमेशा B से।
Theory
Order matters, twice
"ordered" होने के 2 नतीजे हैं:
- एक ही pair के अंदर: (1, x) और (x, 1) दोनों अलग अलग चीज़ें हैं।
- 2 products के बीच: B × A = {(x, 1), (y, 1), (x, 2), (y, 2)}, जो A × B के बराबर नहीं है।
और count की बात: अगर A में m elements हैं और B में n, तो A × B में ठीक m·n pairs होंगे, क्योंकि m में से हर पहला element, n में से हर दूसरे element से मिलता है।
Quiz
A has 4 elements and B has 3. How many elements does B × A have?
- 7
- 12
- It cannot be determined, since B × A is not A × B
- 64
Show the answer
12
Order चाहे कुछ भी हो, size तो गुणा ही होगी: 3 × 4 = 12. B × A और A × B में pairs अलग अलग होते हैं, पर उनकी संख्या हमेशा एक जैसी रहती है। Option A में गुणा की जगह जोड़ किया गया है, और option D में 4³ निकाला गया है, ये दोनों तरीके pairing के नहीं हैं।
Think first
C = {0, 1} और D = {a, b, c}.
मन में ही C × D list कीजिए, फिर tap करने से पहले गिन लीजिए।
Show the answer
C × D = {(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)}: 6 pairs, यानी 2 × 3 से match।
गौर कीजिए listing कितने systematic तरीके से हुई: पहले 0 fix कीजिए, पूरे D पर घूम जाइए, फिर 1 fix करके यही दोहराइए। इसी row-by-row order में list करने से exam में न कोई pair छूटता है और न ही repeat होता है।
Theory
From pairs to graphs
अब मान लीजिए दोनों sets numbers के हैं। (2, 3) जैसा एक pair असल में एक point ही तो है: x-coordinate 2, y-coordinate 3.
तो जो Cartesian plane आप school से बनाते आ रहे हैं, वो असल में एक Cartesian product ही है: ℝ × ℝ, यानी हर possible (x, y). वही Descartes, वही नाम। किसी line या curve को plot करने का मतलब बस इतना है कि ℝ × ℝ में से कौन कौन से pairs किसी equation को satisfy करते हैं, उन्हें mark कर देना।
Theory
The bridge to relations
मान लीजिए A = {1, 2, 3} और इसका A × A बनाइए (9 pairs)। अब सिर्फ वही pairs रखिए जहाँ पहला number दूसरे से छोटा है:
{(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
इस चुने हुए subset को relation कहते हैं। A से B तक हर relation असल में A × B का एक subset ही है। इन तीनों pairs को plot कीजिए तो ये सब line y = x के ऊपर आएँगे, तो "less than" जैसी चीज़ की भी एक picture बन जाती है।
Quiz
A relation from A to B is best described as:
- Any subset of A × B
- The whole of A × B, always
- Any subset of A ∪ B
- A pair of elements, one from each set
Show the answer
Any subset of A × B
Relation A × B में से वो pairs चुनता है जो किसी condition को satisfy करते हों, चाहे एक भी न हो या फिर सारे के सारे। Union (option C) में तो elements होते हैं, pairs नहीं, और एक अकेला pair (option D) product का बस एक member है, अपने आप में relation नहीं।
Watch out
The two pair traps
Trap 1: (1, x) की जगह {1, x} लिख देना, यानी round bracket की जगह curly bracket। Curly brackets order को ignore करते हैं, round brackets order रखते हैं; pairs हमेशा round brackets में ही होने चाहिए। Trap 2: यह दावा करना कि A × B = B × A. Size बराबर है, पर pairs अलग। ये दोनों गलतियाँ सख्ती से काटी जाती हैं क्योंकि इनसे पता चलता है कि order को नज़रअंदाज़ कर दिया गया।
Theory
Where you will meet this again
SQL का CROSS JOIN 2 tables का सचमुच में Cartesian product ही निकालता है, और किसी game engine में जो भी (x, y) point draw होता है वो ℝ × ℝ में ही रहता है। आगे के topics आज के subset वाले idea को और आगे ले जाएँगे: पहले relations detail में, फिर functions, जो असल में one-output वाले rule वाले relations ही हैं।
Summary
Key takeaways
- A × B सारे ordered pairs का set है, जिसमें पहला element A से और दूसरा B से आता है।
- Order pair के अंदर भी matter करता है और products के बीच भी: आम तौर पर A × B ≠ B × A.
- |A| = m और |B| = n हो तो ठीक m·n pairs बनते हैं; इन्हें row by row list कीजिए ताकि कोई छूटे नहीं।
- Numeric pairs असल में points होते हैं, इसलिए xy plane ही ℝ × ℝ है, और relation किसी product का कोई भी चुना हुआ subset है।
- याद रखने का हुक: every row meets every column.