Theory
एक अजीब equation जो आपको पसंद आ जाएगी
देखिए, ये equation इस unit में पूरी तरह सही है:
1 + 1 = 1
ये कोई typo नहीं है। Boolean algebra में + का मतलब जोड़ना नहीं होता, इसका मतलब है OR, और "true or true" तो फिर भी true ही रहता है।
ये छोटा सा 0 और 1 वाला two-value algebra ही वो mathematics है जिस पर आपका पूरा computer चलता है, processor से लेकर हर if-statement तक।
Theory
ये numbers नहीं, switches हैं
quantity वाली सोच भूल जाइए। एक Boolean variable बिल्कुल एक light switch की तरह है: OFF (0) या ON (1), बीच में कुछ नहीं। Boolean operations बताती हैं कि कई switches मिलकर एक bulb को कैसे control करते हैं: series में (दोनों on होने चाहिए), parallel में (कोई एक ही काफी है), या inverted होके। पूरा Boolean algebra असल में switch की wiring है जो symbols में लिखी गई है।
Theory
Variables और 3 operations
एक Boolean variable (A, B, X) सिर्फ 0 या 1 value लेता है।
3 operations से सब कुछ बनता है:
- NOT (complement) A′ या ¬A: value को उलट देता है
- AND, जिसे multiplication की तरह A·B या AB लिखते हैं: 1 सिर्फ तब जब दोनों 1 हों
- OR, जिसे addition की तरह A + B लिखते हैं: 1 तब जब कम से कम एक 1 हो
ये multiplication और addition वाला notation जान बूझकर रखा गया है: AND × की तरह behave करता है, और OR लगभग + की तरह।
Theory
switches का arithmetic
सारे possible calculations, हर एक दो lines में:
A · B : 0·0 = 0 0·1 = 0 1·0 = 0 1·1 = 1
A + B : 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 1
और complement: ¬0 = 1, ¬1 = 0.
सिर्फ एक ही entry school वाले arithmetic से हट के है: 1 + 1 = 1। Output 1 से ज्यादा हो ही नहीं सकता, क्योंकि "true" का इससे बड़ा कोई version नहीं होता।
Quiz
Boolean algebra में 1 + 1 · 0 कितना होगा?
- 1
- 0
- 2
- Undefined
Show the answer
1
AND (·) पहले लगता है, OR (+) बाद में, बिल्कुल वैसे ही जैसे school में × पहले और + बाद में: तो पहले 1·0 = 0, फिर 1 + 0 = 1। अगर आपका answer 0 आया तो आपने OR पहले कर दिया, और 2 तो possible ही नहीं है, क्योंकि कोई भी Boolean value 1 से ज्यादा नहीं होती। Operator precedence यहाँ बिल्कुल normal algebra जैसा ही चलता है।
Think first
A = 1, B = 0, C = 1.
tap करने से पहले X = A·B + ¬B·C को अपने दिमाग में step by step solve कीजिए।
Show the answer
A·B = 1·0 = 0। ¬B = 1, तो ¬B·C = 1·1 = 1। और आखिर में X = 0 + 1 = 1।
यही तरीका किसी भी expression पर लगता है: पहले complements, फिर AND के products, फिर उन results का OR। Exam में बीच के intermediate values जरूर लिख दीजिए, हर step पर अक्सर एक mark मिलता है।
Theory
Expressions असल में छुपे हुए circuits हैं
हर Boolean expression असल में एक physical logic gate circuit को describe करती है:
- X = A·B एक AND gate है: output तभी on होगा जब दोनों inputs on हों
- X = A + B एक OR gate है: output तब on होगा जब कोई एक input on हो
- X = ¬A एक NOT gate है (inverter)
आप expression लिखिए, और एक electronics engineer उसे wire कर सकता है। Expression को simplify कर दीजिए, तो circuit को कम gates चाहिए: यही तो पूरी वजह है कि ये algebra exist करता है।
Quiz
एक ATM तभी cash निकालता है (X = 1) जब card valid हो (A = 1) AND PIN सही हो (B = 1)। कौन सी expression इसे model करती है?
- X = A + B
- X = A · B
- X = ¬A · B
- X = A + ¬B
Show the answer
X = A · B
दोनों conditions एक साथ सही होनी चाहिए, यानी AND: X = A·B। अगर OR (option A) होता, तो चोरी हुए card के साथ गलत PIN भी पैसे निकाल देता, क्योंकि एक condition तो पूरी हो ही रही है। English के "and/or/not" को · , + और ¬ में बदलना ही इस unit की सबसे main exam skill है।
Watch out
पुरानी आदतें जो Boolean answers बिगाड़ देती हैं
कभी 1 + 1 = 2 मत लिखिए: examiner इसे ऐसे पढ़ेगा कि आपको OR समझ ही नहीं आया। A + A को कभी 2A मत मानिए: वो सिर्फ A ही होता है। और precedence का ध्यान रखिए: A + B·C का मतलब है A + (B·C), न कि (A + B)·C। Boolean algebra में brackets उतने ही important हैं जितने C code में।
Theory
ये आपको फिर कहाँ मिलेगा
ये algebra तो आप पहले से जानते हैं: ये वही Mathematical Logic unit वाली truth-table logic है, बस T का नाम 1 रख दिया और F का नाम 0, ∧ बन गया · और ∨ बन गया +। आगे आएँगे: Boolean functions, simplification laws और circuit design, और साथ में हर bitwise operator (&, |, ~) जो आप C में use करेंगे।
Summary
Key takeaways
- Boolean variables सिर्फ 2 values लेते हैं, 0 और 1, बिल्कुल switches की तरह।
- NOT value उलट देता है, AND (·) को दोनों का 1 होना चाहिए, OR (+) को कम से कम एक चाहिए, इसीलिए 1 + 1 = 1 होता है।
- AND, OR से पहले लगता है, बिल्कुल वैसे ही जैसे school algebra में × पहले और + बाद में।
- हर expression एक gate circuit है: · मतलब AND, + मतलब OR, complement मतलब NOT।
- याद रखने का तरीका: numbers नहीं, switches।