Theory
એક વિચિત્ર equation જે તમને ગમી જશે
જુઓ, આ equation આ unit માં એકદમ સાચું છે:
1 + 1 = 1
આ કંઈ typing ની ભૂલ નથી. Boolean algebra માં + નો અર્થ સરવાળો નથી, એનો અર્થ છે OR, અને "true or true" પણ છેવટે true જ રહે છે.
0 અને 1 એ 2 જ value વાળું આ નાનકડું algebra જ પેલું ગણિત છે જેની ઉપર તમારું આખું computer ચાલે છે, processor થી લઈને દરેક if-statement સુધી.
Theory
Numbers નહીં, switches
જથ્થા (quantity) ની વાત ભૂલી જાવ. Boolean variable એટલે એક light switch: કાં તો OFF (0) કાં તો ON (1), વચ્ચે કંઈ નહીં. Boolean operations એ બતાવે છે કે ઘણા switch મળીને એક bulb ને કેમ control કરે છે: series માં (બંને ON હોવા જોઈએ), parallel માં (એકાદ ON હોય તોય ચાલે), કે પછી inverted. આખું Boolean algebra એટલે switch નું wiring, symbols ના રૂપમાં લખેલું.
Theory
Variables અને 3 operations
એક Boolean variable (A, B, X) માત્ર 0 કે 1 જ value લે.
આખું structure આ 3 operations પરથી બને છે:
- NOT (complement) A′ કે ¬A: value ને ઊંધી કરી નાખે
- AND, જેને multiplication ની જેમ A·B કે AB લખાય: 1 ત્યારે જ જ્યારે બંને 1 હોય
- OR, જેને addition ની જેમ A + B લખાય: 1 ત્યારે જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક 1 હોય
Multiplication અને addition ની આ notation જાણી જોઈને રાખેલી છે: AND × ની જેમ વર્તે છે, અને OR લગભગ + ની જેમ.
Theory
Switches નું arithmetic
બધા possible calculations, દરેક બબ્બે line માં:
A · B : 0·0 = 0 0·1 = 0 1·0 = 0 1·1 = 1
A + B : 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 1
અને complement: ¬0 = 1, ¬1 = 0.
માત્ર એક જ entry એવી છે જે નિશાળના ગણિત સામે બળવો કરે છે: 1 + 1 = 1. Output 1 થી વધારે ના જઈ શકે, કારણ કે "true" નું એનાથી મોટું કોઈ version હોતું જ નથી.
Quiz
Boolean algebra માં 1 + 1 · 0 નું મૂલ્ય કેટલું?
- 1
- 0
- 2
- Undefined
Show the answer
1
AND (·) એ OR (+) પહેલાં ઉકેલાય, બરાબર જેમ નિશાળમાં × એ + પહેલાં આવે: પહેલાં 1·0 = 0, પછી 1 + 0 = 1. જો તમને 0 આવ્યું હોય તો તમે OR પહેલાં કરી નાખ્યું, અને 2 તો શક્ય જ નથી: કોઈ Boolean value 1 થી વધારે ના જાય. Operator precedence અહીં સામાન્ય algebra જેવું જ, બરાબર એ જ રીતે, લાગુ પડે છે.
Think first
A = 1, B = 0, C = 1.
Tap કરતાં પહેલાં X = A·B + ¬B·C ને મનમાં જ, step by step, ઉકેલી જુઓ.
Show the answer
A·B = 1·0 = 0. ¬B = 1, એટલે ¬B·C = 1·1 = 1. છેલ્લે X = 0 + 1 = 1.
આ જ method કોઈ પણ expression માટે ચાલે: પહેલાં complements, પછી AND ના products, અને છેલ્લે એ results ને OR કરો. Exam માં આ વચ્ચેની values જરૂર લખજો; સામાન્ય રીતે દરેક step ના marks મળે છે.
Theory
Expressions એ છૂપા circuits છે
દરેક Boolean expression એ ખરેખર એક physical logic gate circuit નું વર્ણન કરે છે:
- X = A·B એટલે AND gate: output ત્યારે જ ON જ્યારે બંને inputs ON હોય
- X = A + B એટલે OR gate: output ON જ્યારે કોઈ પણ એક input ON હોય
- X = ¬A એટલે NOT gate (inverter)
તમે expression લખો, અને એક electronics engineer એને wire કરી શકે. Expression ને simplify કરો, તો circuit ને ઓછા gates જોઈએ: આ algebra અસ્તિત્વમાં જ એટલા માટે છે.
Quiz
એક ATM ત્યારે જ પૈસા આપે (X = 1) જ્યારે card valid હોય (A = 1) AND PIN સાચો હોય (B = 1). કયું expression આને model કરે?
- X = A + B
- X = A · B
- X = ¬A · B
- X = A + ¬B
Show the answer
X = A · B
બંને conditions એકસાથે સાચી હોવી જોઈએ, એટલે કે AND: X = A·B. OR (option A) વાપરો તો ચોરેલું card ને ખોટો PIN હોય તોય, જ્યાં સુધી એકાદ condition સાચી હોય, પૈસા નીકળી જાય. English ના "and/or/not" ને · , + અને ¬ માં ફેરવવું એ જ આ unit ની મુખ્ય exam skill છે.
Watch out
જૂની ટેવો જે Boolean જવાબ બગાડે
ક્યારેય 1 + 1 = 2 ન લખતા: examiner એને એમ સમજશે કે તમને OR જ સમજાયું નથી. A + A ને 2A ન ગણતા: એ ફક્ત A જ છે. અને precedence નું માન રાખજો: A + B·C નો અર્થ A + (B·C) છે, નહીં કે (A + B)·C. Boolean algebra માં brackets એટલા જ મહત્વના છે જેટલા C code માં.
Theory
આ ફરી ક્યાં ભેગું થશે
તમે આ algebra ને ઓળખો જ છો: આ Mathematical Logic unit વાળી પેલી truth-table logic જ છે, જ્યાં T ને 1 નામ આપ્યું અને F ને 0, ∧ · થઈ ગયું અને ∨ + થઈ ગયું. આગળ આવશે: Boolean functions, simplification ના laws અને circuit design, ઉપરાંત C માં તમે વાપરશો એ દરેક bitwise operator (&, |, ~).
Summary
Key takeaways
- Boolean variables બરાબર 2 જ value લે, 0 અને 1, જાણે switches હોય.
- NOT value ઊંધી કરે, AND (·) ને બંને 1 જોઈએ, OR (+) ને ઓછામાં ઓછું એક જોઈએ, એટલે 1 + 1 = 1.
- AND એ OR પહેલાં ઉકેલાય, બરાબર જેમ નિશાળના algebra માં × એ + પહેલાં.
- દરેક expression એ gate circuit છે: · એટલે AND, + એટલે OR, complement એટલે NOT.
- યાદ રાખવાની ચાવી: numbers નહીં, switches.