Theory
Engineers formula નાનું કેમ કરે છે
એક જ કામ કરતા 2 circuit લો. એક 5 gates વાપરે છે, બીજું ફક્ત 2. 2-gate વાળું સસ્તું છે, ઝડપી છે અને ઓછું ગરમ થાય છે, ખરેખર: ઓછા gates એટલે ઓછી power વપરાય.
બંને એ જ Boolean function માંથી આવ્યા છે; ફરક એટલો કે wiring કરતા પહેલા કોઈએ expression ને minimize કરી નાખ્યું.
આ topic એ જ છે: function ને લખવાની standard રીતો, અને એ function નું કામ બદલ્યા વગર એને નાનું કરવાના laws.
Theory
રસ્તા અલગ, પણ પહોંચવાનું એક જ
Expression એ રસ્તા છે; function એ મંઝિલ છે. A·B + A·B·C અને ખાલી A·B, બંને દરેક input માટે એ જ output આપે છે, જેમ એક ગોળ ગોળ ફરતો રસ્તો અને એક highway, બંને એ જ office આગળ પૂરા થાય. Minimization એટલે highway પસંદ કરવી. Truth table (એટલે મંઝિલ) તો કદી બદલાતી નથી.
Theory
2 standard costume: SOP અને POS
- SOP (sum of products): AND terms નું OR, જેમ કે A·B + ¬A·C. એનું canonical version minterms વાપરે છે: દરેક term માં બધા variables આવે, અને output 1 હોય એવી દરેક row દીઠ એક term.
- POS (product of sums): OR terms નું AND, જેમ કે (A + B)(¬A + C). Canonical POS maxterms વાપરે છે, output 0 હોય એવી દરેક row દીઠ એક.
સાદો નિયમ: table માં 1 ઓછા હોય તો SOP ટૂંકું પડે; 0 ઓછા હોય તો POS ટૂંકું પડે.
Quiz
આમાંથી કયું SOP (sum of products) form માં છે?
- (A + B)·(A + C)
- A·B + ¬A·C
- ¬(A·B + C)
- A + (B·(C + A))
Show the answer
A·B + ¬A·C
SOP એટલે AND terms ને ઉપરના level પર OR થી જોડ્યા હોય: A·B + ¬A·C બરાબર બંધ બેસે છે. Option A તો POS છે (OR terms ને AND થી જોડ્યા). Option C માં આખા ઉપર complement વીંટાળેલો છે, અને option D માં product ની અંદર sum nest કરેલો છે, એટલે એ બંને standard form નથી.
Theory
Solved minimization, દરેક law નું નામ સાથે
F = A·B + A·B·C ને simplify કરો.
1. Factor કરો, common A·B બહાર કાઢો (distributive law): F = A·B(1 + C)
2. Domination: 1 + C = 1
3. Identity: A·B·1 = A·B
એટલે F = A·B. પેલો C term ખાલી શોભા માટે હતો: જ્યારે પણ A·B·C એ 1 હોય, ત્યારે A·B તો પહેલેથી જ 1 હોય. આ pattern, X + X·Y = X, એટલો common છે કે એનું અલગ નામ છે: absorption law.
Think first
G = (A + B)(A + ¬B) ને laws વાપરીને simplify કરો.
પહેલા મનમાં જ distribution કરી જુઓ: આખું multiply કરો, જે term શક્ય જ ન હોય એને મારી નાખો, પછી tap કરો.
Show the answer
Multiply out કરો (distributive): G = A·A + A·¬B + B·A + B·¬B
= A + A·¬B + A·B + 0 (idempotent A·A = A; complement B·¬B = 0)
= A(1 + ¬B + B) = A·1 = A
યાદ રાખવા જેવો shortcut: (X + Y)(X + ¬Y) હંમેશા X માં જ collapse થાય. Y વાળો ભાગ પોતે જ cancel થઈ જાય.
Theory
Minimizer નું toolbox
BCA level નું લગભગ બધું minimization આ 6 laws થી થઈ જાય:
- Idempotent: A + A = A, A·A = A
- Complement: A + ¬A = 1, A·¬A = 0
- Identity / domination: A + 0 = A, A·1 = A, A + 1 = 1, A·0 = 0
- Distributive: factor કરો કે expand કરો
- Absorption: A + A·B = A
- De Morgan's: ¬(A·B) = ¬A + ¬B અને ¬(A + B) = ¬A·¬B, complement ને અંદર ખસેડવા માટે
દરેક step પર law નું નામ લખો; examiner દરેક named step દીઠ marks આપે છે.
Quiz
F = X + X·Y + X·Z ને simplify કરો.
- X·(Y + Z)
- X + Y + Z
- X
- X·Y·Z
Show the answer
X
Absorption 2 વાર લગાડો: X + X·Y = X, પછી X + X·Z = X. જ્યારે પણ X·Y કે X·Z એ 1 હોય, ત્યારે X પોતે જ પહેલેથી 1 હોય, એટલે એ extra terms કંઈ ઉમેરતા નથી. Option A એ એકલા X term ને ભૂલી ગયું, અને option B એ Y અને Z ને ખોટી રીતે independent conditions બનાવી દીધા.
Watch out
2 છૂપા killer
પહેલો: complement ને distribute કરતી વખતે operation ને flip ન કરવો. ¬(A·B) એ ¬A + ¬B છે, કદી ¬A·¬B નહીં; De Morgan's માં flip કરવું ફરજિયાત છે. બીજો: "simplify" કરતાં કરતાં આખું બીજું function બનાવી દેવું. શંકા હોય તો કોઈ એક input row ને original expression સામે check કરી લો; equivalent expressions દરેક row પર એકસરખા આવવા જ જોઈએ.
Theory
આ ફરી ક્યાં મળશે
Compilers તમારી if-conditions ને આ જ laws વાપરીને minimize કરે છે, અને આગળના semesters માં તમને Karnaugh map મળશે, એક visual grid જે આ જ minimization આંખેથી કરી નાખે. આગળનું topic આજના આ toolbox ને શરૂથી અંત સુધી લગાડે છે: એક વાક્યમાંથી ખરેખરું circuit design કરવાનું.
Summary
Key takeaways
- SOP એ AND terms નું OR છે (minterms 1-rows ને cover કરે); POS એ OR terms નું AND છે (maxterms 0-rows ને cover કરે).
- Minimization truth table બદલ્યા વગર expression ને નાનું કરે છે: ઓછા literals, ઓછા gates.
- Core toolbox: idempotent, complement, identity, domination, distributive, absorption, De Morgan's.
- ફરી ફરી કામ લાગતા shortcuts: X + X·Y = X અને (X + Y)(X + ¬Y) = X.
- યાદ રાખવાની ટૂંકી વાત: એ જ table, પણ ટૂંકું formula.