Theory
એક વચન, અને એક કોયડો
તમારો friend વચન આપે છે: "If it rains, I will pick you up." એટલે કે "વરસાદ પડશે તો હું તને લેવા આવીશ."
હવે વરસાદ પડતો જ નથી. છતાં એ તમને લેવા આવી જાય છે.
તો શું એણે વચન તોડ્યું કહેવાય? આ વાત મગજમાં રાખો. આ topic પૂરું થાય ત્યાં સુધીમાં તમે એનો જવાબ એક logician ની જેમ આપશો, અને exam માં આ જ સવાલ પૂછવો બહુ ગમે છે.
Think first
પહેલાં જાતે વિચારો. એણે વચન તો ફક્ત વરસાદવાળા દિવસ માટે આપ્યું છે. સૂકા દિવસે એવું કંઈ કરી શકે ખરો કે જેનાથી વચન તૂટે?
Show the answer
ના. વચનમાં ફક્ત એટલું જ કહ્યું છે કે if it rains ત્યારે શું થશે. સૂકા દિવસે એ ગમે તે કરે, વચન તૂટી જ ના શકે. એટલે logicians એને kept (વચન પળાયું) ગણે છે. આ feeling યાદ રાખજો, થોડી વારમાં એ table ની એક exact row બની જવાની છે.
Theory
Truth table એટલે શું
Truth table એ કોઈ logical statement માટે દરેક શક્ય પરિસ્થિતિની list છે, દરેક પરિસ્થિતિ માટે એક row, અને દરેક row માં એ statement ની value (T કે F) લખેલી હોય.
1 proposition હોય તો 2 rows. 2 propositions હોય તો 4 rows. n propositions હોય તો 2ⁿ rows. આખો idea આટલો જ છે: દરેક case check કરી લો, પછી કોઈ case તમને surprise ના આપી શકે.
Theory
AND: કડક વાળો
P ∧ Q ("P and Q") ત્યારે જ true થાય જ્યારે બંને true હોય.
P Q P ∧ Q
T T T
T F F
F T F
F F F
એક job ad વિચારો: "must know C and SQL". બેમાંથી એક પણ ના આવડતું હોય, તો તમે qualify જ ના થાવ.
Quiz
2 propositions ની 4 rows માંથી કેટલી rows માં P ∧ Q true થાય છે?
- બરાબર એક row
- 2 rows
- 3 rows
- ચારેય rows
Show the answer
બરાબર એક row
AND કડક છે: ફક્ત T, T વાળી row જ ટકે છે. Tables ઝડપથી યાદ રાખવાની trick: AND ને એક જ T row, OR ને એક જ F row.
Theory
OR: ઉદાર વાળો
P ∨ Q ("P or Q") ત્યારે true થાય જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક true હોય. Logic માં "or" ની અંદર એ case પણ આવી જાય જ્યાં બંને true હોય.
P Q P ∨ Q
T T T
T F T
F T T
F F F
College નું notice કહે "bring your ID card or your fee receipt", તો બેમાંથી ગમે તે એક લાવો તોય ચાલે, અને બંને લાવો તો તો પાક્કું ચાલી જ જાય.
Theory
Implication: પાછા આપણા વચન પર
P → Q એટલે "if P then Q". આ પેલું શરૂઆતવાળું વચન જ છે: P એટલે "વરસાદ પડે છે", Q એટલે "હું તને લેવા આવીશ".
P Q P → Q
T T T
T F F
F T T
F F T
ફક્ત એક જ row માં વચન તૂટે છે: વરસાદ પડ્યો, અને એ આવ્યો નહીં. બંને F વાળી rows true છે, બરાબર પેલા સૂકા દિવસ જેવી જ, જ્યાં એ ગમે તે કરે વચન તૂટતું નથી.
Quiz
P → Q બરાબર એક જ પરિસ્થિતિમાં false થાય છે. કઈ?
- P true હોય અને Q false હોય
- P false હોય અને Q true હોય
- બંને false હોય
- બંને true હોય
Show the answer
P true હોય અને Q false હોય
Implication ત્યારે જ ખોટું પડે જ્યારે condition તો બની પણ વચનવાળું result ના મળ્યું: T → F. બાકીની બધી rows, પેલી વિચિત્ર લાગતી F rows સહિત, true છે.
Watch out
Exam ની classic trap
મોટા ભાગના students F → T ને false કરી નાખે છે કારણ કે એ "ખોટું feel" થાય છે. પણ એ true છે. વરસાદનું વચન sunny દિવસે તૂટી જ ના શકે. બીજી trap: 3 variables હોય તો તમને 8 rows જોઈએ. એને systematically લખો (TTT, TTF, TFT, ...) જેથી એકેય miss ના થાય.
Theory
આ તમને ફરી ક્યાં મળશે
C કે Java માં તમે જે પણ if condition લખશો, એ truth table ની એક row જ check થતી હોય છે. આગળના semesters માં જે digital circuits આવશે એ wires માંથી બનેલી truth tables જ છે. અને હવે પછીનો Boolean Algebra unit એ truth tables જ છે, બસ algebra ના કપડાં પહેરીને આવેલી: rows એ ને એ જ, notation નવું.
Summary
Key takeaways
- Truth table એ n propositions ની બધી 2ⁿ શક્ય T/F combinations લખે છે, દરેક એક row માં.
- AND કંજૂસ છે: ફક્ત એક જ row માં true (જ્યારે બંને true હોય).
- OR ઉદાર છે: ફક્ત એક જ row માં false (જ્યારે બંને false હોય).
- P → Q ફક્ત T → F માટે false, એટલે કે વચન તૂટ્યું એ row.
- યાદ રાખવાની trick: AND ને એક T row, OR ને એક F row, અને IF ને એક તૂટેલું વચન.