Theory
एक promise, और एक पहेली
आपका एक दोस्त वादा करता है: "If it rains, I will pick you up." मतलब, अगर बारिश हुई, तो मैं तुम्हें लेने आऊँगा।
अब बारिश नहीं होती। फिर भी वो आ जाता है।
तो सवाल ये है: क्या उसने अपना promise तोड़ा? इस बात को थोड़ा दिमाग में रखिए। इस topic के आखिर तक आप इसका जवाब एक logician की तरह देंगे, और यही तो वो सवाल है जो exam में बहुत पूछा जाता है।
Think first
पहले खुद सोचिए। उसने वादा सिर्फ बारिश वाले दिन के बारे में किया था। सूखे दिन पर, क्या ऐसा कुछ है जो वो कर सके जिससे promise टूट जाए?
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नहीं। Promise सिर्फ ये कहता है कि अगर बारिश हुई तो क्या होगा। सूखे दिन पर तो promise टूट ही नहीं सकता, वो चाहे कुछ भी करे। इसलिए logicians इसे kept यानी निभाया हुआ मानते हैं। इस feeling को याद रखिए, थोड़ी देर में यही एक table की एक exact row बन जाएगी।
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Truth table होती क्या है
Truth table एक ऐसी list है जिसमें किसी logical statement के हर possible situation को लिखा जाता है, हर situation के लिए एक row, और उसमें उस statement की value (T या F) भी होती है।
1 proposition है तो 2 rows होंगी। 2 propositions हैं तो 4 rows। और अगर n propositions हैं तो 2ⁿ rows होंगी। बस यही पूरा idea है: हर case को check कर लो, फिर कोई भी case आपको surprise नहीं कर सकता।
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AND: सख्त वाला
P ∧ Q ("P and Q") सिर्फ तभी true होता है जब दोनों true हों।
P Q P ∧ Q
T T T
T F F
F T F
F F F
एक job ad सोचिए: "must know C and SQL". अगर इनमें से एक भी नहीं आता, तो आप qualify नहीं करते।
Quiz
2 propositions की 4 rows में से, कितनी rows में P ∧ Q true होता है?
- सिर्फ एक row में
- 2 rows में
- 3 rows में
- चारों rows में
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सिर्फ एक row में
AND सख्त है: सिर्फ T, T वाली row बचती है। Tables याद रखने का एक आसान तरीका: AND में एक T row होती है, OR में एक F row होती है।
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OR: उदार वाला
P ∨ Q ("P or Q") तब true होता है जब कम से कम एक true हो। Logic में "or" उस case को भी include करता है जहाँ दोनों true हों।
P Q P ∨ Q
T T T
T F T
F T T
F F F
एक college notice सोचिए: "bring your ID card or your fee receipt"। आप इनमें से कोई एक लाओ तो भी काम हो गया, और दोनों लाओ तो तो पक्का हो ही गया।
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Implication: वापस उसी promise पर
P → Q का मतलब है "if P then Q"। ये वही promise है जिससे हमने शुरू किया था: P है "it rains", और Q है "I pick you up"।
P Q P → Q
T T T
T F F
F T T
F F T
सिर्फ एक ही row promise को तोड़ती है: बारिश हुई, और वो नहीं आया। दोनों F वाली rows true हैं, ठीक उसी सूखे दिन की तरह जहाँ वो चाहे कुछ भी करे, promise टूटता ही नहीं।
Quiz
P → Q सिर्फ एक ही situation में false होता है। कौन सी?
- P true है और Q false है
- P false है और Q true है
- दोनों false हैं
- दोनों true हैं
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P true है और Q false है
Implication सिर्फ तभी fail होता है जब condition तो हुई पर promised result नहीं मिला: T → F। बाकी हर row, वो अजीब सी दिखने वाली F rows भी, true ही होती हैं।
Watch out
Exam का classic trap
ज़्यादातर students F → T को false मार देते हैं, क्योंकि उन्हें ये "गलत feel होता है"। पर ये true है। बारिश वाला promise धूप वाले दिन तोड़ा ही नहीं जा सकता। दूसरा trap: 3 variables हों तो आपको 8 rows चाहिए। इन्हें systematically लिखिए (TTT, TTF, TFT, ...) ताकि कोई भी row छूटे नहीं।
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ये आपको फिर कहाँ मिलेगा
C या Java में आप जो भी if condition लिखेंगे, वो असल में एक truth table की एक row को check करना ही है। आगे के semesters में जो digital circuits आएँगे, वो तो wires से बनी हुई truth tables ही हैं। और अगला जो Boolean Algebra unit है, वो truth tables का ही algebra वाला रूप है: rows वही, बस notation नया।
Summary
Key takeaways
- Truth table n propositions के लिए सारे 2ⁿ possible T/F combinations को list करती है, हर एक की एक row।
- AND कंजूस है: सिर्फ एक row में true (जब दोनों true हों)।
- OR उदार है: सिर्फ एक row में false (जब दोनों false हों)।
- P → Q सिर्फ T → F के लिए false होता है, यानी टूटे हुए promise वाली row।
- याद रखने का hook: AND के लिए एक T row, OR के लिए एक F row, और IF के लिए एक टूटा हुआ promise।