Theory
એ જ સરેરાશ, જુદાં પ્રાણી
બે બેચ એ જ કસોટી આપે છે. બંનેની સરેરાશ 60.
બેચ P: 58, 59, 60, 61, 62. બેચ Q: 20, 40, 60, 80, 100.
એક ચુસ્ત, ભણાવી શકાય એવું જૂથ છે; બીજું એક જ ઓરડામાં નાપાસથી માંડીને પ્રથમ સુધી ફેલાયેલું છે. ગયા પાઠનો આપણો સિતારો, સરેરાશ, એમને અલગ પાડી શકતો નથી.
દરેક કેન્દ્રને બીજી સંખ્યા જોઈએ: મૂલ્યો એનાથી કેટલાં દૂર ભટકે છે? એ સંખ્યા વિકિરણ છે, અને પરીક્ષાને એની ત્રણ આવૃત્તિ જોઈએ છે, હાથે.
Theory
લક્ષ્યની આસપાસના તીરંદાજ
બે તીરંદાજની સરેરાશ બરાબર કેન્દ્રમાં છે. એક દરેક તીર સિક્કા જેટલી પહોળાઈમાં ભેગું કરે છે; બીજો આખા લક્ષ્યના પટ પર છાંટે છે, ચૂક ચૂકને રદ કરતી.
એ જ સરેરાશ સ્થાન, સાવ જુદા તીરંદાજ. વિકિરણ તીરોનો વિખેર માપે છે, એમનું કેન્દ્ર ક્યાં છે એ નહીં. એના વગરનો સારાંશ છાંટનાર અને નિશાનબાજ બંનેનાં સરખાં વખાણ કરે છે.
Theory
વ્યાપ: સાઠ સેકન્ડનો જવાબ
વ્યાપ = મહત્તમ - લઘુતમ.
બેચ P: 62 - 58 = 4. બેચ Q: 100 - 20 = 80. તરત, અને બે બેચને પહેલેથી અલગ પાડી દે છે.
એની નબળાઈ માળખાકીય છે: એ ફક્ત બે મૂલ્યો ને પૂછે છે અને બાકીનાં n-2 અવગણે છે. એક વિચિત્ર outlier (એક જ 600 મિનિટવાળો) વ્યાપને ફોડી નાખે છે જ્યારે ભીડ જેમની તેમ બેઠી રહે છે. એને પહેલી નજર તરીકે વાપરો, ચુકાદા તરીકે ક્યારેય નહીં.
Theory
વિચરણ: આપણે વર્ગ કેમ કરીએ છીએ
વધુ સારો વિચાર: દરેક મૂલ્યનું સરેરાશથી વિચલન માપો અને એમની સરેરાશ લો. એક અડચણ: કાચાં વિચલનનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય હોય છે (સરેરાશ એમનું સંતુલન બિંદુ છે): +2 અને -2 રદ થાય છે, નકલી શાંતિ જણાવતાં.
ઉકેલ: પહેલાં દરેક વિચલનનો વર્ગ કરો: ઋણ ચિહ્નો અદૃશ્ય થાય છે, મોટી ચૂક વધારે ગણાય છે.
વસ્તીનું વિચરણ σ² = Σ(x - સરેરાશ)² ÷ N.
નમૂનાનું વિચરણ s² એને બદલે (n - 1) થી ભાગે છે (Bessel નું સુધારણ: નમૂના ફેલાવો સહેજ ઓછો બતાવે છે; n-1 એની ભરપાઈ કરે છે: નામ આપો, જ્યારે પણ data નમૂનો હોય ત્યારે વાપરો).
Theory
શરૂથી અંત સુધી ગણેલું
Marks: 4, 8, 6, 2 (સરળતા માટે વસ્તી તરીકે).
1. સરેરાશ = 20 ÷ 4 = 5.
2. વિચલન: -1, +3, +1, -3. (સરવાળો = 0 ✓ જડેલી ભૂલની તપાસ.)
3. વર્ગ: 1, 9, 1, 9. સરવાળો = 20.
4. વિચરણ σ² = 20 ÷ 4 = 5 (એકમ: marks²).
5. SD σ = √5 ≈ 2.24 marks: ખરેખરા એકમમાં પાછું, જણાવવા લાયક સંખ્યા.
નમૂના તરીકે: s² = 20 ÷ 3 ≈ 6.67, s ≈ 2.58. એ જ રીત, જુદો ભાજક.
Think first
તમારો વારો, પૂરી રીત
5 students નો screen-time કલાકમાં: 2, 4, 4, 5, 10. કાગળ પર: સરેરાશ, વિચલન (એમનો સરવાળો 0 છે એ તપાસો), વર્ગ કરેલાં વિચલન, વસ્તીનું વિચરણ અને SD. પછી tap કરો.
Show the answer
સરેરાશ = 25 ÷ 5 = 5.
વિચલન: -3, -1, -1, 0, +5 (સરવાળો 0 ✓).
વર્ગ: 9, 1, 1, 0, 25. સરવાળો = 36.
વિચરણ = 36 ÷ 5 = 7.2 કલાક². SD = √7.2 ≈ 2.68 કલાક.
નોંધો કે એકલા 10 એ 36 માંથી 25 નું યોગદાન આપ્યું: વર્ગ કરવાથી outliers બરાડે છે. જો તમારાં વિચલનનો સરવાળો શૂન્ય ન થયો હોય, તો સરેરાશ ખોટી હતી: કશાનો વર્ગ કરતાં પહેલાં ફરી ગણો.
Quiz
એક student જણાવે છે "marks નું વિચરણ 5 છે, એટલે marks સામાન્ય રીતે સરેરાશથી 5 marks જેટલા જુદા પડે છે." શું ખોટું છે?
- વિચરણ વર્ગ કરેલા એકમમાં છે (marks²); સામાન્ય અંતર એ SD છે, √5 ≈ 2.24 marks
- કશું નહીં: વિચરણ અને SD એક જ સંખ્યા છે
- Marks માટે વિચરણ ગણી શકાતું નથી
- સામાન્ય અંતર એ વ્યાપ છે, SD નહીં
Show the answer
વિચરણ વર્ગ કરેલા એકમમાં છે (marks²); સામાન્ય અંતર એ SD છે, √5 ≈ 2.24 marks
વિચરણ વર્ગ કરેલા એકમમાં વસે છે, બીજગણિત માટે ઉપયોગી પણ અંતર તરીકે અવાચ્ય: કોઈ "5 ચોરસ marks" ભટકતું નથી. પ્રમાણિત વિચલન એનું વર્ગમૂળ લઈને ખરેખરા એકમમાં પાછું લાવે છે, જે √5 ≈ 2.24 ને પ્રામાણિક "સરેરાશથી સામાન્ય અંતર" બનાવે છે. આ બેને ગૂંચવવી એ ઉત્તરવહીઓમાં વિકિરણની સૌથી સામાન્ય ભૂલ છે; વ્યાપ (વિકલ્પ D) કુલ પહોળાઈ માપે છે, સામાન્ય અંતર નહીં.
Watch out
વિકિરણના ત્રણ ફાંદા
વર્ગ છોડી દેવો: કાચાં વિચલનનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે: દરેક dataset શૂન્ય ફેલાવાનો દાવો કરે.
ભાજકની ગૂંચવણ: વસ્તી ÷ N, નમૂનો ÷ (n-1). તમે કયું વાપર્યું એ જણાવો: R અને pandas default માં નમૂના નું સૂત્ર વાપરે છે, સાદાં calculators ઘણી વાર વસ્તીનું.
વિચરણને અંતર તરીકે જણાવવું: અર્થઘટન પહેલાં SD માં ફેરવો. અને યાદ રાખો કે વ્યાપે ફક્ત બે મૂલ્યો પૂછ્યાં: એને ક્યારેય મજબૂત ન કહો.
Theory
SD ચૂપચાપ ક્યાં રાજ કરે છે
પરિણામનું સમાયોજન સરેરાશ અને SD વાપરીને marks ને માપે છે. ગુણવત્તા નિયંત્રણ SD વધે ત્યારે ઉત્પાદનની હરોળ અટકાવે છે. Cricket ના વિવેચકોનો "સાતત્યપૂર્ણ બેટ્સમેન" એ ઓછા SD નો દાવો છે. અને બે પાઠ પછી, bell curve એ SD ને માપપટ્ટીમાં ફેરવે છે: 1 SD ની અંદર 68% data, 2 ની અંદર 95%: આજે હાથે ગણેલી સંખ્યા એ એકમ બને છે જેમાં આખું normal distribution મપાય છે. (જુદા એકમો પાર ફેલાવો સરખાવવો છે? SD ને સરેરાશથી ભાગો: વિચરણનો ગુણાંક.)
Summary
Key takeaways
- વિકિરણ "કેટલું વિખરાયેલું?" નો જવાબ આપે છે: એકલી સરેરાશ ચુસ્ત અને જંગલી data ને અલગ પાડી શકતી નથી.
- વ્યાપ = મહત્તમ - લઘુતમ: તરત, પણ ફક્ત બે મૂલ્યો અને outlier સામે નાજુક.
- સરેરાશથીનાં વિચલનનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે: વર્ગ કરવાથી રદ થવાનું અટકે છે અને મોટી ચૂક વધુ ગણાય છે.
- વિચરણ = સરેરાશ વર્ગ કરેલું વિચલન (વસ્તી ÷N, નમૂનો ÷(n-1): Bessel).
- SD = √વિચરણ: ખરેખરા એકમમાં પાછું, એ જ સંખ્યા જે તમે જણાવો અને સમજાવો છો.
- વિચલનનો સરવાળો = 0 એ વર્ગ કરતાં પહેલાંની મફત ગણિતની તપાસ છે.
- Memory hook: લક્ષ્યની આસપાસના તીરંદાજ: એ જ કેન્દ્ર, જુદો વિખેર.