Theory
एक Circle पर एक Four-Cornered Figure का Area
आप जानते हैं एक triangle या एक rectangle का area कैसे ढूँढते हैं। पर एक general four-sided figure जिसके चार corners सब एक circle पर पड़ें, एक cyclic quadrilateral, के बारे में क्या? इसका area obvious नहीं है। Indian mathematician Brahmagupta ने exactly इस case के लिए एक elegant formula दिया, सिर्फ़ चार side lengths इस्तेमाल करते हुए।
यह topic Brahmagupta और इनके documented area formula को cover करता है, real mathematics को एक clean worked example के साथ सिखाते हुए, और history को इस unit के बाकी हिस्से जैसी same care से handle करते हुए।
Watch out
Careful, Factual Framing
हम author और text को accurately नाम देते हैं, Brahmagupta और इनका treatise Brahmasphutasiddhanta, और सिर्फ़ DOCUMENTED formula और इसकी mathematics present करते हैं। Title में verse number result locate करने के लिए एक pointer है; हम Sanskrit verse text या exact translations reproduce या invent नहीं करते। Verbatim wording के लिए, prescribed text consult कीजिए। हम result modestly present करते हैं, genuine mathematics की तरह जो अपने own merit पर खड़ी है।
Theory
Brahmagupta और इनका Formula
Brahmagupta (लगभग 598 से 668 CE) एक major Indian mathematician और astronomer थे, Brahmasphutasiddhanta के author। इनके कई results में एक cyclic quadrilateral के area के लिए एक formula है: sides a, b, c, d वाला एक quadrilateral जिसके चार vertices एक single circle पर पड़ते हैं।
पहले semi-perimeter s compute कीजिए, जो perimeter का आधा है:
s = (a + b + c + d) / 2
फिर area है:
Area = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) का square root
चार sides in, एक area out। यह एक ऐसे shape के लिए एक strikingly clean rule है जो otherwise measure करना hard दिखता है।
Follow along
Worked Example: Sides 4, 5, 7, 10
- Sides Add कीजिए 4 + 5 + 7 + 10 = 26 (perimeter)।
- Semi-Perimeter के लिए Halve कीजिए s = 26 / 2 = 13।
- हर Side को s से Subtract कीजिए s - a = 9, s - b = 8, s - c = 6, s - d = 3।
- चारों को Multiply कीजिए 9 x 8 x 6 x 3 = 1296।
- Square Root लीजिए Area = 1296 का square root = 36।
Quiz
Sides 4, 5, 7, और 10 वाले एक cyclic quadrilateral के लिए Brahmagupta का formula इस्तेमाल करते हुए, area क्या है? (s = 13।)
- 26, perimeter
- 36, क्योंकि (13-4)(13-5)(13-7)(13-10) = 9 x 8 x 6 x 3 = 1296, और 1296 का square root 36 है
- 1296
- 13, semi-perimeter
Show the answer
36, क्योंकि (13-4)(13-5)(13-7)(13-10) = 9 x 8 x 6 x 3 = 1296, और 1296 का square root 36 है
s = (4+5+7+10)/2 = 13 के साथ, चार factors (s-a)=9, (s-b)=8, (s-c)=6, (s-d)=3 हैं। इनका product 9 x 8 x 6 x 3 = 1296 है, और area 1296 का square root = 36 है। Option A (26) perimeter है, area नहीं। Option C (1296) square root लेने से पहले का product है; आपको root लेना पड़ता है। Option D (13) semi-perimeter s है, एक intermediate value, area नहीं। तो answer 36 है। Formula चार side lengths को कुछ clean steps में एक area में बदलता है: semi-perimeter, चार subtractions, एक product, एक square root।
Think first
आपने यह Formula का Shape पहले कहाँ देखा है?
Brahmagupta का formula एक famous triangle-area formula जैसा काफ़ी लगता है। Connection क्या है? फिर tap कीजिए।
Show the answer
यह triangle के area के लिए Heron's formula का एक GENERALISATION है। Heron's formula कहता है a, b, c sides वाले एक triangle का area s(s-a)(s-b)(s-c) के square root के equal है, जहाँ s इसका semi-perimeter है। Cyclic quadrilateral के लिए Brahmagupta का formula (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) का square root है, चार sides के साथ। देखिए क्या होता है अगर आप quadrilateral की एक side को zero तक shrink होने दें, मान लीजिए d = 0: तब (s - d), (s - 0) = s बन जाता है, और quadrilateral a, b, c sides वाले एक triangle में collapse हो जाता है। Brahmagupta का formula s(s-a)(s-b)(s-c) में बदल जाता है, जो exactly Heron's formula है। तो triangle case बस वह special case है जहाँ चौथा side vanish होता है। वह connection इसका एक lovely example है कि कैसे एक ज़्यादा general result इसके अंदर एक familiar एक को contain करता है, और दोनों याद रखने का एक अच्छा तरीका है। एक formula, और इसके अंदर छिपा triangle।
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इसे अच्छी तरह Study करना
Documented formula याद रखिए: sides a, b, c, d और semi-perimeter s = (a+b+c+d)/2 वाले एक cyclic quadrilateral के लिए, area (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) का square root है। Worked steps practise कीजिए (semi-perimeter, subtract, multiply, square root) जब तक ये automatic न हों, और Heron's formula से link नोट कीजिए। Verse number को एक pointer की तरह treat कीजिए और prescribed text cite कीजिए। अगला आप इन Unit 4 results को code में IMPLEMENT करेंगे, जो इस .NET subject के लिए आप C# में कर सकते हैं।
Summary
Key takeaways
- Brahmagupta (लगभग 598 से 668 CE) ने Brahmasphutasiddhanta लिखा और cyclic quadrilateral के area के लिए एक formula दिया।
- एक cyclic quadrilateral में चार sides a, b, c, d होते हैं जिनके सारे चार corners एक circle पर पड़ते हैं।
- Semi-perimeter s = (a + b + c + d) / 2 compute कीजिए।
- Area = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) का square root।
- Worked example, sides 4, 5, 7, 10: s = 13; 9 x 8 x 6 x 3 = 1296; 1296 का square root = 36।
- Formula triangle के लिए Heron's formula को generalise करता है, जो वह special case है जहाँ चौथा side 0 है।
- Memory hook: semi-perimeter, हर side subtract कीजिए, चारों multiply कीजिए, square root लीजिए।