Ancient knowledge by Brahmgupta: Area of Cyclic Quadrilateral (Sutra verse 10)

📖 Theory

વર્તુળ પર બેઠેલી ચાર ખૂણાવાળી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ

ત્રિકોણ કે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કાઢતાં તમને આવડે છે. પણ એવી સામાન્ય ચાર બાજુવાળી આકૃતિ જેના ચારેય ખૂણા એક જ વર્તુળ પર હોય, એટલે કે cyclic quadrilateral, એનું શું? એનું ક્ષેત્રફળ સહેજે દેખાય એવું નથી. ભારતીય ગણિતજ્ઞ બ્રહ્મગુપ્તે બરાબર આ જ કિસ્સા માટે એક સુંદર સૂત્ર આપ્યું, જેમાં ફક્ત ચાર બાજુની લંબાઈ જ જોઈએ છે.

આ વિષય બ્રહ્મગુપ્ત અને એમના નોંધાયેલા ક્ષેત્રફળના સૂત્રને આવરી લે છે, ખરું ગણિત સ્વચ્છ ગણી બતાવેલા દાખલા સાથે શીખવે છે, અને ઇતિહાસને આ unit ના બાકીના ભાગ જેટલી જ કાળજીથી સંભાળે છે.

⚠️ Watch out

ધ્યાનપૂર્વકની, factual રજૂઆત

આપણે author અને ગ્રંથનું નામ ચોકસાઈથી આપીએ છીએ, એટલે કે બ્રહ્મગુપ્ત અને એમનો ગ્રંથ બ્રહ્મસ્ફુટસિદ્ધાંત, અને ફક્ત નોંધાયેલું સૂત્ર તથા એનું ગણિત રજૂ કરીએ છીએ. શીર્ષકમાં આપેલો શ્લોક ક્રમાંક એ પરિણામ શોધવા માટેનો દિશાસૂચક છે; આપણે સંસ્કૃત શ્લોકનો પાઠ કે એના ચોક્કસ અનુવાદ ફરી લખતા નથી કે ઉપજાવી કાઢતા નથી. અક્ષરશઃ શબ્દો માટે નક્કી કરેલું પુસ્તક જુઓ. પરિણામ અહીં નમ્રતાથી રજૂ થયું છે, કારણ કે એ પોતાના ગણિતના બળે જ ટકે એવું છે.

📖 Theory

બ્રહ્મગુપ્ત અને એમનું સૂત્ર

બ્રહ્મગુપ્ત (આશરે 598 થી 668 સામાન્ય યુગ) મોટા ભારતીય ગણિતજ્ઞ અને ખગોળશાસ્ત્રી હતા, અને બ્રહ્મસ્ફુટસિદ્ધાંત ના author. એમનાં અનેક પરિણામોમાં એક છે cyclic quadrilateral ના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: એટલે કે એવો quadrilateral જેની બાજુઓ a, b, c, d હોય અને જેના ચારેય vertices એક જ વર્તુળ પર પડતાં હોય.

પહેલાં semi-perimeter s ગણો, જે perimeter નો અડધો ભાગ છે:

s = (a + b + c + d) / 2

પછી ક્ષેત્રફળ થાય:

ક્ષેત્રફળ = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) નું વર્ગમૂળ

ચાર બાજુ અંદર, એક ક્ષેત્રફળ બહાર. જે આકૃતિ માપવી અઘરી લાગે એના માટે આ આશ્ચર્યજનક રીતે સ્વચ્છ નિયમ છે.

🪜 Follow along

ગણી બતાવેલો દાખલો: બાજુઓ 4, 5, 7, 10

1. બાજુઓ ઉમેરો 4 વત્તા 5 વત્તા 7 વત્તા 10 બરાબર 26 (perimeter).
2. Semi-perimeter માટે અડધું કરો s બરાબર 26 ભાગ્યા 2 બરાબર 13.
3. s માંથી દરેક બાજુ બાદ કરો s ઓછા a બરાબર 9, s ઓછા b બરાબર 8, s ઓછા c બરાબર 6, s ઓછા d બરાબર 3.
4. ચારેયનો ગુણાકાર કરો 9 ગુણ્યા 8 ગુણ્યા 6 ગુણ્યા 3 બરાબર 1296.
5. વર્ગમૂળ લો ક્ષેત્રફળ બરાબર 1296 નું વર્ગમૂળ બરાબર 36.

🧩 Quiz

બ્રહ્મગુપ્તના સૂત્રથી, જેની બાજુઓ 4, 5, 7 અને 10 છે એવા cyclic quadrilateral નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય? (s બરાબર 13.)

1. 26, એટલે કે perimeter
2. 36, કારણ કે (13-4)(13-5)(13-7)(13-10) બરાબર 9 x 8 x 6 x 3 બરાબર 1296, અને 1296 નું વર્ગમૂળ 36 છે
3. 1296
4. 13, એટલે કે semi-perimeter

💭 Think first

આવા આકારનું સૂત્ર તમે પહેલાં ક્યાં જોયું છે?

બ્રહ્મગુપ્તનું સૂત્ર ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રસિદ્ધ સૂત્ર જેવું ઘણું લાગે છે. બંને વચ્ચે શું સંબંધ છે? વિચારીને પછી tap કરો.

📖 Theory

આનો સારો અભ્યાસ કઈ રીતે કરવો

નોંધાયેલું સૂત્ર યાદ રાખો: જેની બાજુઓ a, b, c, d હોય અને semi-perimeter s બરાબર (a+b+c+d)/2 હોય એવા cyclic quadrilateral નું ક્ષેત્રફળ (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) ના વર્ગમૂળ બરાબર થાય છે. ગણી બતાવેલાં પગથિયાં (semi-perimeter, બાદબાકી, ગુણાકાર, વર્ગમૂળ) સ્વયંસ્ફૂર્ત થઈ જાય ત્યાં સુધી મહાવરો કરો, અને હેરોનના સૂત્ર સાથેની કડી નોંધી રાખો. શ્લોક ક્રમાંકને દિશાસૂચક ગણો અને નક્કી કરેલા પુસ્તકનો સંદર્ભ આપો. હવે પછી તમે Unit 4 નાં આ પરિણામો code માં implement કરશો, અને આ .NET નો વિષય હોવાથી તમે એ C# માં કરી શકો.

✅ Summary

Key takeaways

• બ્રહ્મગુપ્તે (આશરે 598 થી 668 સામાન્ય યુગ) બ્રહ્મસ્ફુટસિદ્ધાંત લખ્યો અને cyclic quadrilateral ના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર આપ્યું.
• Cyclic quadrilateral ને ચાર બાજુ a, b, c, d હોય છે અને એના ચારેય ખૂણા વર્તુળ પર પડે છે.
• Semi-perimeter ગણો: s બરાબર (a + b + c + d) / 2.
• ક્ષેત્રફળ બરાબર (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) નું વર્ગમૂળ.
• ગણી બતાવેલો દાખલો, બાજુઓ 4, 5, 7, 10: s બરાબર 13; 9 ગુણ્યા 8 ગુણ્યા 6 ગુણ્યા 3 બરાબર 1296; 1296 નું વર્ગમૂળ બરાબર 36.
• આ સૂત્ર ત્રિકોણ માટેના હેરોનના સૂત્રનું generalisation છે, જે ચોથી બાજુ 0 હોય એવો વિશેષ કિસ્સો છે.
• યાદ રાખવાની કડી: semi-perimeter, દરેક બાજુ બાદ કરો, ચારેયનો ગુણાકાર કરો, વર્ગમૂળ લો.