Theory
બે વિચાર જે તમે રોજ વાપરો છો
તમારો code જ્યારે પણ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ગણે છે ત્યારે એ pi વાપરે છે. જ્યારે પણ એ તરંગ, ખૂણો કે ભ્રમણનું વર્ણન કરે છે ત્યારે એ sine વાપરે છે. આ બંનેનો લાંબો નોંધાયેલો ઇતિહાસ છે, અને એ ઇતિહાસનું એક મહત્ત્વનું પ્રકરણ છે ભારતીય ગણિતજ્ઞ આર્યભટ નું કામ.
તમારો અભ્યાસક્રમ કહે છે તેમ આ unit ASP.NET થી બાજુ પર ખસીને શાસ્ત્રીય ભારતીય ગણિત ભણે છે. આ પહેલો વિષય આર્યભટના ગ્રંથમાંથી બે નોંધાયેલાં પરિણામો આવરી લે છે: pi ની એમની ચોકસાઈભરી અંદાજિત કિંમત, અને sine function પરનું એમનું early કામ. આપણે ખરું ગણિત શીખવીશું, અને એના ઇતિહાસ વિશે કાળજીભર્યા તથા પ્રામાણિક રહીશું.
Watch out
ધ્યાનપૂર્વકની, factual રજૂઆત
આપણે ગ્રંથ અને author નું નામ ચોકસાઈથી આપીએ છીએ, એટલે કે આર્યભટ અને એમની કૃતિ આર્યભટીય, અને ફક્ત નોંધાયેલાં ગણિતનાં પરિણામો રજૂ કરીએ છીએ. આ વિષયના શીર્ષકમાં આપેલા શ્લોક ક્રમાંક ગ્રંથમાં સામગ્રી શોધવા માટેના દિશાસૂચક છે; અહીં આપણે સંસ્કૃત શ્લોકનો પાઠ કે એના ચોક્કસ અનુવાદ ફરી લખતા નથી કે ઉપજાવી કાઢતા નથી. Verbatim શ્લોકો માટે નક્કી કરેલું પુસ્તક કે scholarly આવૃત્તિ જુઓ. આપણે ગણિતને નમ્રતાથી, સહિયારી માનવ કથાના ભાગ તરીકે રજૂ કરીએ છીએ, કોઈ સ્પર્ધાત્મક કે વિજયી દાવા વગર.
Theory
આર્યભટ અને આર્યભટીય
આર્યભટ ભારતીય ગણિતજ્ઞ અને ખગોળશાસ્ત્રી હતા, જે આશરે 476 થી 550 સામાન્ય યુગ માં સક્રિય હતા. એમનો સંક્ષિપ્ત પદ્યગ્રંથ આર્યભટીય અંકગણિત, બીજગણિત, ત્રિકોણમિતિ અને ખગોળશાસ્ત્રને આશ્ચર્યજનક રીતે થોડી જ પંક્તિઓમાં આવરી લે છે.
એનાં અનેક પરિણામોમાંથી આ વિષય બે પર ધ્યાન આપે છે: pi ની numerical કિંમત (વર્તુળના પરિઘ અને એના વ્યાસનો ગુણોત્તર), અને sine function ની early વ્યવસ્થિત માંડણી. બંને ખરાં, નોંધાયેલાં પ્રદાન છે, અને બંને આજે તમે programming માં વાપરો છો એ ગણિત સાથે સીધાં જોડાયેલાં છે.
Theory
pi ની કિંમત
આર્યભટીય વર્તુળના પરિઘ માટે એવો નિયમ આપે છે જે આધુનિક સંખ્યાઓમાં આ રીતે ઊતરે છે: 100 માં 4 ઉમેરો, 8 વડે ગુણો, પછી 62000 ઉમેરો, અને એથી 20000 વ્યાસવાળા વર્તુળનો પરિઘ મળે છે.
પગથિયે પગથિયે: (100 વત્તા 4) બરાબર 104; 104 ગુણ્યા 8 બરાબર 832; 832 વત્તા 62000 બરાબર 62832. એટલે 20000 ના વ્યાસ માટે પરિઘ 62832 થાય, જેનો અર્થ એ કે pi આશરે 62832 ભાગ્યા 20000 બરાબર 3.1416 થાય. એ દશાંશના ચાર સ્થાન સુધી ચોક્કસ છે. ખાસ નોંધવા જેવું એ કે આર્યભટે આ કિંમતને અંદાજિત કહી હતી, જે ગણિતની દૃષ્ટિએ પરિપક્વ સ્વીકાર છે કે ખરો ગુણોત્તર કોઈ સાદો અપૂર્ણાંક નથી.
Quiz
આર્યભટના નિયમ પ્રમાણે: 100 માં 4 ઉમેરો, 8 વડે ગુણો, 62000 ઉમેરો, પછી વ્યાસ 20000 વડે ભાગો. pi ની કઈ અંદાજિત કિંમત મળે છે?
- બરાબર 3.14
- 3.1416
- 22 ભાગ્યા 7, જે આશરે 3.142857 થાય
- 3.14159265
Show the answer
3.1416
નિયમ ચલાવો: (100 વત્તા 4) બરાબર 104; 104 ગુણ્યા 8 બરાબર 832; 832 વત્તા 62000 બરાબર 62832. એ 20000 ના વ્યાસ માટેનો પરિઘ છે, એટલે pi આશરે 62832 ભાગ્યા 20000 બરાબર 3.1416 થાય. વિકલ્પ A (3.14) આ પદ્ધતિ ખરેખર જે આપે છે એના કરતાં વધુ ગોળ અને ઓછી ચોકસાઈવાળી કિંમત છે. વિકલ્પ C (22/7, આશરે 3.142857) એક જુદો, અલગ અંદાજ છે, આ ગણતરી જે આપે છે એ નહીં. વિકલ્પ D (3.14159265) આ પદ્ધતિ આપે એના કરતાં વધુ ચોકસાઈ ધરાવે છે; નિયમ બરાબર 3.1416 જ આપે છે. આર્યભટનો અંદાજ દશાંશના ચાર સ્થાન સુધી ચોક્કસ છે, અને એમણે ડહાપણપૂર્વક એને અંદાજિત કહી હતી.
Theory
sine function
આર્યભટીય sine function ની early, વ્યવસ્થિત માંડણી પણ રજૂ કરે છે અને ખગોળશાસ્ત્રમાં વાપરવા માટે એની કિંમતોનું કોષ્ટક આપે છે. સંસ્કૃતમાં એ સંબંધિત રાશિને jya (અથવા ardha-jya, એટલે અર્ધજીવા) કહેવામાં આવતી.
અહીં ઇતિહાસનો એક સારી રીતે નોંધાયેલો અને ઘણો સુંદર ટુકડો છે: sine શબ્દ પોતે આમાંથી ઊતરી આવ્યો છે. સંસ્કૃત jya અરબીમાં લેવાયો (જે jiba તરીકે લખાયો અને પછી jaib તરીકે વંચાયો), અને અરબી કૃતિઓ લેટિનમાં translate થઈ ત્યારે એ sinus બન્યો, જેમાંથી આપણને 'sine' મળ્યું. એટલે તમારી math library માં રોજ વપરાતા function નું નામ છેક આ પરંપરા સુધીનો દોર સાચવીને બેઠું છે. Sine ના કોષ્ટકનું ગણિત, એટલે કે ખૂણાઓની શ્રેણી માટે અર્ધજીવાની કિંમતો, ખગોળીય પદાર્થોની સ્થિતિ ગણવા વપરાતું.
Think first
આર્યભટે pi ને 'અંદાજિત' કહી એ કેમ મહત્ત્વનું છે?
આર્યભટે 3.1416 આપી પણ એને અંદાજિત કહી. એ નાનકડો શબ્દ ગણિતની દૃષ્ટિએ કેમ મહત્ત્વનો છે? વિચારીને પછી tap કરો.
Show the answer
કારણ કે એ દર્શાવે છે કે આ ગુણોત્તરની કોઈ ચોક્કસ સાદી કિંમત નથી એ સમજાયું હતું.
Pi એ છે જેને આજે આપણે irrational સંખ્યા કહીએ છીએ: એને અપૂર્ણાંક કે સીમિત દશાંશ તરીકે બરાબર લખી શકાતી નથી, એટલે એની કોઈ પણ numerical કિંમત, પછી એ 3.1416 હોય, 22/7 હોય કે દસ લાખ અંક હોય, ખરા ગુણોત્તરનો અંદાજ જ રહે છે.
પોતાની કિંમતને સ્પષ્ટપણે અંદાજિત (आसन्न) કહીને આર્યભટે સંકેત આપ્યો કે એ નજીકનો અંદાજ આપી રહ્યા છે, ચોક્કસ આંકડો હોવાનો દાવો નથી કરતા; ગણિતની દૃષ્ટિએ આ કાળજીભર્યું અને પ્રામાણિક વલણ છે. બીજે ઘણા early અંદાજો તો જાણે ચોક્કસ હોય એ રીતે જ મુકાયા હતા.
આ સભાનતા, એટલે કે કેટલીક રાશિઓ સુધી ફક્ત નજીક પહોંચી શકાય છે, બરાબર પકડી શકાતી નથી, વૈચારિક રીતે ઘણી આગળ પડતી છે.
Programmer તરીકે તમારા માટે આ પરિચિત વિચાર છે: computer પણ pi ને સીમિત ચોકસાઈ સુધી જ સાચવે છે, એટલે તમારા code માં રહેલો દરેક pi એક અંદાજ જ છે, બરાબર એ જ રીતે જેમ આર્યભટે સદીઓ પહેલાં નોંધ્યું હતું. ચોકસાઈ વિશે પ્રામાણિક રહેવું એ સારું ગણિત છે, ત્યારે પણ અને આજે પણ.
Theory
આનો સારો અભ્યાસ કઈ રીતે કરવો
નોંધાયેલાં પરિણામો શીખો, એટલે કે આર્યભટનું pi (આશરે 3.1416, જે 62832 ભાગ્યા 20000 થી મળે) અને sine (jya) પરનું એમનું early કામ, અને એમને નમ્રતાથી તથા ચોકસાઈથી સમજાવી શકો એટલી તૈયારી રાખો. શ્લોક ક્રમાંકને દિશાસૂચક ગણો અને ચોક્કસ શબ્દો માટે નક્કી કરેલું પુસ્તક જુઓ. આ unit માં આગળ જતાં તમે આવાં પરિણામો code માં implement કરશો, અને .NET નો વિષય હોવાથી તમે એ C# માં કરી શકો. ઇતિહાસને સહિયારા માનવ જ્ઞાન તરીકે આદરપૂર્વક રજૂ કરો.
Summary
Key takeaways
- આર્યભટે (આશરે 476 થી 550 સામાન્ય યુગ) આર્યભટીય લખ્યું, જે અંકગણિત, બીજગણિત, ત્રિકોણમિતિ અને ખગોળશાસ્ત્રનો સંક્ષિપ્ત ગ્રંથ છે.
- એ pi માટે એવો નિયમ આપે છે જે (100 વત્તા 4) ગુણ્યા 8 વત્તા 62000 બરાબર 62832 ને 20000 ના વ્યાસ માટેનો પરિઘ ગણે છે.
- એટલે pi આશરે 62832 ભાગ્યા 20000 બરાબર 3.1416 થાય, જે દશાંશના ચાર સ્થાન સુધી ચોક્કસ છે, અને આર્યભટે એને અંદાજિત કહી હતી.
- એને અંદાજિત કહેવું ખરી ગાણિતિક સૂઝ દર્શાવે છે: pi irrational છે અને એને બરાબર લખી શકાતી નથી.
- આર્યભટીયે sine (સંસ્કૃતમાં jya) નું કોષ્ટક પણ આપ્યું; 'sine' શબ્દ ઐતિહાસિક રીતે jya માંથી અરબી થઈને લેટિન sinus સુધી ઊતરી આવ્યો છે.
- આ નોંધાયેલાં પરિણામો નમ્રતાથી રજૂ કરો; શ્લોક ક્રમાંક દિશાસૂચક છે, એટલે ચોક્કસ શ્લોકો માટે નક્કી કરેલું પુસ્તક જુઓ.
- યાદ રાખવાની કડી: આર્યભટનું pi એટલે 3.1416 (62832 ઉપર 20000), અને 'sine' એમના jya માંથી આવ્યો છે.