Theory
રચનામાંથી જન્મેલી ભૂમિતિ
ભૂમિતિ અમૂર્ત પ્રમેયો રૂપે લખાઈ એના ઘણા સમય પહેલાં એની જરૂર એક તદ્દન વ્યવહારુ કામ માટે પડી હતી: વૈદિક કર્મકાંડ માટે ચોક્કસ આકાર અને ક્ષેત્રફળવાળી વેદીઓ રચવા માટે. એટલે આ રચનાઓની સૂચનાઓ, એટલે કે શુલ્બ સૂત્રો, ખરી અને કામ કરતી ભૂમિતિ ધરાવે છે, જેમાં તમને સારી રીતે આવડતો એક નિયમ પણ છે.
એ નિયમ છે કાટખૂણ ત્રિકોણ ની બાજુઓ વચ્ચેનો સંબંધ: a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ. આ વિષય શુલ્બ સૂત્રો શું છે અને એમાં નોંધાયેલી ભૂમિતિ કઈ છે એ આવરી લે છે, અને આ unit માં હંમેશની જેમ એને ચોકસાઈ તથા કાળજીથી સંભાળે છે.
Watch out
ધ્યાનપૂર્વકની, factual રજૂઆત
કાટખૂણ ત્રિકોણનો સંબંધ અનેક પ્રાચીન ગણિત પરંપરાઓમાં જોવા મળે છે. આપણે એને ચોકસાઈથી કહીએ છીએ: એ શુલ્બ સૂત્રો માં નોંધાયેલો છે અને પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. બૌધાયન શુલ્બ સૂત્રમાં એનાં સૌથી પ્રાચીન નોંધાયેલાં કથનોમાંનું એક મળે છે, પણ 'પહેલાં કોણે શોધ્યું' કે 'કોણે કોની નકલ કરી' એવા સ્પર્ધાત્મક દાવા આપણે નથી કરતા; ગણિતનો ઇતિહાસ સહિયારો અને ગૂંચવણભર્યો છે. આપણે ગ્રંથોનાં નામ ચોકસાઈથી આપીએ છીએ, નોંધાયેલાં પરિણામો નમ્રતાથી રજૂ કરીએ છીએ, અને સૂત્ર ક્રમાંકને ફક્ત દિશાસૂચક ગણીએ છીએ, કોઈ શ્લોકનો પાઠ કે અનુવાદ ઉપજાવ્યા વગર.
Theory
શુલ્બ સૂત્રો એટલે શું
શુલ્બ સૂત્રો પ્રાચીન ભારતીય ગ્રંથો છે જે વ્યાપક વૈદિક કર્મકાંડ સાહિત્ય (કલ્પ વેદાંગ) નો ભાગ છે. 'શુલ્બ' એટલે માપવા માટે વપરાતી દોરી કે રજ્જુ, એટલે નામ પોતે જ જમીન પર આકારો માપી લેવાનું સૂચવે છે.
એમનો હેતુ વ્યવહારુ હતો: ચોક્કસ આકાર અને ક્ષેત્રફળવાળી વેદીઓ કઈ રીતે રચવી એ જણાવવાનો. એ બૌધાયન, આપસ્તંબ અને કાત્યાયન સહિત અનેક authors સાથે જોડાયેલા છે. આ રચનાઓ ચોકસાઈથી પાર પાડવા માટે ગ્રંથોએ ખરી ભૂમિતિ નોંધી: ચોરસ કઈ રીતે રચવો, કાટખૂણ ત્રિકોણની બાજુઓને કઈ રીતે સાંકળવી, અને ક્ષેત્રફળનો અંદાજ કઈ રીતે કાઢવો; એ જ ગણિત આપણે હવે જોઈએ છીએ.
Theory
કાટખૂણ ત્રિકોણનો સંબંધ અને રચનાઓ
શુલ્બ સૂત્રો કાટખૂણ ત્રિકોણનો સંબંધ નોંધે છે: જે કાટખૂણ ત્રિકોણની નાની બાજુઓ a અને b હોય અને સૌથી લાંબી બાજુ (કર્ણ) c હોય, એના માટે
a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ
પરિચિત 3-4-5 વાળો ત્રિકોણ આ સંતોષે છે: 3 નો વર્ગ વત્તા 4 નો વર્ગ બરાબર 9 વત્તા 16 બરાબર 25, અને 5 નો વર્ગ બરાબર 25, એટલે 3, 4, 5 કાટખૂણ ત્રિકોણ રચે છે. રચનારાઓ આવી triples વાપરીને દોરી વડે ચોક્કસ કાટખૂણા આંકતા.
ગ્રંથો ચોરસ રચવાની રીતો પણ આપે છે (જેમાં લંબચોરસને એટલા જ ક્ષેત્રફળવાળા ચોરસમાં ફેરવવાનું પણ આવે છે), અને ક્ષેત્રફળ માટેની આશરે રચનાઓ પણ, જેમ કે લગભગ સરખા ક્ષેત્રફળવાળા વર્તુળ અને ચોરસને સાંકળવા ('વર્તુળનું squaring' તરફનો early પ્રયાસ) તથા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સંભાળવું. આ નોંધાયેલી, વ્યવહારુ ભૂમિતિ છે.
Quiz
શુલ્બ સૂત્રોમાં નોંધાયેલા કાટખૂણ ત્રિકોણના સંબંધથી, જેની બે નાની બાજુઓ 3 અને 4 છે એ ત્રિકોણનો કર્ણ કેટલો થાય?
- 7, બંને બાજુ ઉમેરવાથી
- 5, કારણ કે 3 નો વર્ગ વત્તા 4 નો વર્ગ બરાબર 9 વત્તા 16 બરાબર 25, અને 25 નું વર્ગમૂળ 5 છે
- 25, જે c નો વર્ગ છે
- 12
Show the answer
5, કારણ કે 3 નો વર્ગ વત્તા 4 નો વર્ગ બરાબર 9 વત્તા 16 બરાબર 25, અને 25 નું વર્ગમૂળ 5 છે
a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ લગાડો: c નો વર્ગ બરાબર 9 વત્તા 16 બરાબર 25, એટલે c બરાબર 25 નું વર્ગમૂળ બરાબર 5. 3-4-5 વાળો ત્રિકોણ આનો પાઠ્યપુસ્તક જેવો દાખલો છે, અને આવી triples વડે ચોક્કસ કાટખૂણા આંકવામાં આવતા. વિકલ્પ A (7) બાજુઓના વર્ગ કરવાને બદલે એમને ખોટી રીતે ઉમેરી દે છે (3 વત્તા 4). વિકલ્પ C (25) વર્ગમૂળ લીધા વગર c ના વર્ગ પર જ અટકી જાય છે: 25 એ c નો વર્ગ છે, અને c પોતે 5 છે. વિકલ્પ D (12) નો અહીં કોઈ આધાર નથી. શુલ્બ સૂત્રોમાં નોંધાયેલો અને પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાતો આ સંબંધ ખરું, નોંધાયેલું ગણિત છે જે અનેક પ્રાચીન પરંપરાઓમાં જોવા મળે છે.
Think first
'પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે' એમ કેમ કહેવું?
એને સીધું પાયથાગોરસનું પ્રમેય કહેવાને બદલે, કે એને સંપૂર્ણપણે ભારતીય ગણાવવાને બદલે, આટલી કાળજીભરી શબ્દરચના કેમ? વિચારીને પછી tap કરો.
Show the answer
કારણ કે કાટખૂણ ત્રિકોણનો સંબંધ અનેક પ્રાચીન પરંપરાઓમાં સ્વતંત્ર રીતે જોવા મળે છે, અને પ્રામાણિક વિદ્વત્તા એ વાત રજૂ કરે છે.
એ ભારતીય શુલ્બ સૂત્રોમાં નોંધાયેલો છે (બૌધાયનના ગ્રંથમાં એનાં સૌથી પ્રાચીન જ્ઞાત કથનોમાંનું એક છે), અને એ બેબીલોનીયન ગણિતમાં પણ મળે છે, તથા પાયથાગોરસ સાથે જોડાયેલી ગ્રીક પરંપરામાં પણ, જ્યાંથી પશ્ચિમનું પ્રચલિત નામ આવ્યું છે.
એને સીધું 'પાયથાગોરસનું પ્રમેય' કહેવાથી અનેક પરંપરાઓમાં જાણીતા પરિણામનો શ્રેય એક જ પરંપરાને મળી જાય છે; અને એને કોઈ એક જ પરંપરાની જ શોધ ગણાવવી એ સામી બાજુની ભૂલ છે.
'પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાતો સંબંધ' એવી કાળજીભરી શબ્દરચના ગણિતને ચોકસાઈથી નામ આપે છે અને સાથે એની સહિયારી, અનેક ઉત્પત્તિઓ સ્વીકારે છે, અને ઇતિહાસને હરીફાઈ બનાવ્યા વગર.
ગણિતનું સત્ય સાર્વત્રિક છે અને એ સુધી અનેક પ્રજાઓ પહોંચી હતી; એને નમ્રતાથી અને ચોકસાઈથી રજૂ કરવું એ શુલ્બ સૂત્રો અને વ્યાપક માનવ કથા બંનેનું સન્માન કરે છે. ચોક્કસ શબ્દો માટે નક્કી કરેલું પુસ્તક જુઓ; ગણિત પોતે તો સૌનું છે.
Theory
આનો સારો અભ્યાસ કઈ રીતે કરવો
એટલું જાણો કે શુલ્બ સૂત્રો વેદીઓ માટેની geometric રચનાના પ્રાચીન ભારતીય ગ્રંથો છે, અને એમાં ખરી ભૂમિતિ નોંધાયેલી છે: ચોરસ રચવો, કાટખૂણ ત્રિકોણનો સંબંધ (a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ), અને ક્ષેત્રફળ માટેની આશરે રચનાઓ. ઇતિહાસ ચોકસાઈથી અને નમ્રતાથી રજૂ કરો (સહિયારું પરિણામ, જે પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે). ચોક્કસ સૂત્રો માટે નક્કી કરેલા પુસ્તકનો સંદર્ભ આપો. આ unit માં આગળ જતાં તમે આવાં પરિણામો code માં implement કરશો.
Summary
Key takeaways
- શુલ્બ સૂત્રો પ્રાચીન ભારતીય ગ્રંથો છે (વૈદિક કર્મકાંડ સાહિત્યનો ભાગ) જે વેદીઓ રચવા માટેની geometric રચનાઓ આપે છે.
- 'શુલ્બ' એટલે માપવાની દોરી; આ ગ્રંથો બૌધાયન, આપસ્તંબ અને કાત્યાયન જેવા authors સાથે જોડાયેલા છે.
- એ કાટખૂણ ત્રિકોણનો સંબંધ નોંધે છે: a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ (a, b નાની બાજુઓ; c કર્ણ).
- ગણી બતાવેલો 3-4-5 દાખલો: 9 વત્તા 16 બરાબર 25 બરાબર 5 નો વર્ગ, એટલે કર્ણ 5; આવી triples થી ચોક્કસ કાટખૂણા આંકાતા.
- એ ચોરસ રચવાની અને ક્ષેત્રફળનો અંદાજ કાઢવાની રીતો પણ આપે છે (વર્તુળ અને ચોરસને સાંકળવા સહિત).
- આ સંબંધ પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે અને અનેક પ્રાચીન પરંપરાઓમાં જોવા મળે છે; એને નમ્રતાથી રજૂ કરો, 'કોણે કોની નકલ કરી' જેવા દાવા વગર.
- યાદ રાખવાની કડી: દોરી અને વેદીની ભૂમિતિ, જેના કેન્દ્રમાં a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ છે.