Theory
The auto-rickshaw meter mystery
मान लीजिए आप लगातार 3 दिन एक ही auto में बैठते हैं।
2 km का किराया ₹43 आता है। 4 km का ₹61। और 6 km का ₹79।
अब बिना driver से पूछे, क्या आप बता सकते हैं कि 10 km का किराया कितना होगा? इस topic के आखिर तक आप ये एक minute से भी कम में solve कर लेंगे, क्योंकि इन numbers के पीछे छुपा है एक function, और आप अभी सीखने वाले हैं कि data से उसका formula कैसे वापस बनाते हैं।
Theory
Three views of one story
देखिए, function असल में एक कहानी है कि एक quantity दूसरी पर कैसे depend करती है। Table इस कहानी को घटनाओं की list की तरह बताता है, graph एक तस्वीर की तरह, और formula एक line में पूरा सार बता देता है। Construction का मतलब है कहानी को एक form में सुनना और दूसरे form में दोबारा सुनाना। कुछ नया नहीं बनता, आप बस translate करते हैं।
Theory
The straight-line formula: y = mx + c
इस level पर ज़्यादातर construction के सवाल linear होते हैं, यानी data इस formula को follow करता है
y = mx + c
- m है slope, यानी जब x हर बार 1 बढ़ता है तो y कितना बदलता है
- c है y-intercept, यानी x = 0 पर y की value, मतलब "starting amount"
ये 2 numbers मिल गए, तो समझिए पूरा function वापस बन गया।
Theory
From a table: constant difference
Table लीजिए: x = 0, 1, 2, 3 और y = 3, 5, 7, 9।
1. y की differences check करिए: 5−3 = 2, 7−5 = 2, 9−7 = 2। हर बार same आ रही है, तो data linear है और m = 2।
2. x = 0 पर y पढ़िए: y = 3, तो c = 3।
3. लिख दीजिए: y = 2x + 3।
अगर x = 0 वाली row है ही नहीं? तो कोई भी known point ले लीजिए: उसका x और y, y = mx + c में डालिए और c solve कर लीजिए।
Quiz
एक table में x = 1, 2, 3, 4 और y = 10, 13, 16, 19 है। कौन सा function fit होगा?
- y = 3x + 7
- y = 3x + 10
- y = 10x + 3
- y = 4x + 6
Show the answer
y = 3x + 7
हर step पर y की difference 3 है, तो m = 3। x = 0 वाली row है नहीं, इसलिए point (1, 10) use कीजिए: 10 = 3·1 + c से c = 7 आ जाता है। Option B ने पहली y value को ही intercept मान लिया, ये सबसे common shortcut वाली गलती है: 10 तो x = 1 पर y है, x = 0 पर नहीं।
Theory
From a graph: two points
मान लीजिए एक straight line (0, 1) और (2, 5) से होकर गुज़र रही है:
1. Slope: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (5 − 1)/(2 − 0) = 2
2. Intercept: point (0, 1) तो y-axis पर ही बैठा है, इसलिए c = 1 सीधे मिल गया
3. Equation: y = 2x + 1
अगर graph में कोई तीसरा point दिख रहा है तो उससे check कर लीजिए; line पर जो भी point है, उसे equation satisfy करनी ही चाहिए।
Think first
वापस auto पर आते हैं: 2 km का ₹43, 4 km का ₹61, 6 km का ₹79।
mind में ही m (per-km rate) और c (base fare) निकालिए, फिर 10 km का किराया predict कीजिए।
Show the answer
किराया हर 2 km पर ₹18 बढ़ता है, तो m = 9 rupees per km। अब (2, 43) से: 43 = 9·2 + c, यानी c = 25 (यही base fare है)। Formula बन गया: fare = 9x + 25।
10 km के लिए: 9·10 + 25 = ₹115। बस यही तो है construction: data अंदर डालो, formula बाहर निकालो, prediction तैयार।
Theory
From words to everything else
Word problems आपको m और c छुपाकर देते हैं: "एक fixed charge plus एक constant rate" हमेशा y = mx + c ही होता है।
- fixed charge, base fare, starting salary → c
- per km, per hour, per unit → m
एक बार formula बन गया, तो आप उससे table बना सकते हैं और graph भी plot कर सकते हैं, और पूरा circle complete हो जाता है: description → formula → table → graph।
Quiz
एक cyber cafe बैठने के ₹20 लेता है plus ₹15 per hour। कौन सा function x घंटों के लिए total cost y देता है?
- y = 20x + 15
- y = 15x + 20
- y = 35x
- y = 15x − 20
Show the answer
y = 15x + 20
per-hour वाला rate घंटों से multiply होता है (m = 15) और एक बार का बैठने वाला charge अकेला खड़ा रहता है (c = 20)। Option A ने दोनों के roles उल्टे कर दिए, यही word-problem की सबसे आम गलती है: हमेशा पूछिए "कौन सा number per unit repeat हो रहा है?" वही m होता है।
Watch out
Check before you commit
2 आदतें construction की लगभग सारी गलतियां रोक देती हैं: linear मानने से पहले verify कर लीजिए कि y की differences सचमुच constant हैं (अगर वो बदल रही हैं तो function linear नहीं है और y = mx + c लगेगा ही नहीं), और अपनी final equation में हमेशा एक ऐसा point डालकर check कीजिए जो अभी use नहीं किया। अगर fail हो जाए, तो ज़्यादातर गड़बड़ intercept में ही होती है।
Theory
Where you will meet this again
Data science में इसी को line fitting कहते हैं, और machine learning का सबसे simple model, linear regression, असल में यही y = mx + c है जो data की table से सीखा जाता है। हर pricing API, EMI calculator और physics lab का graph, सब आज सीखी हुई इसी skill को use करते हैं, यानी table, graph और formula के बीच translate करने की।
Summary
Key takeaways
- Table, graph और formula, ये एक ही function को देखने के 3 तरीके हैं; construction इनके बीच convert करना है।
- Linear data y = mx + c follow करता है: m हर unit x पर change है, c है x = 0 पर की value।
- Table से: constant y-difference m देती है; x = 0 पर y (या कोई भी point solve करके) c देता है।
- Graph से: 2 points m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) देते हैं, फिर एक point c fix कर देता है।
- याद रखने का trick: जो number repeat होता है वो m, और जो एक बार का होता है वो c।