Theory
One plus one is... two नहीं
Chirag whiteboard पर लिखता है:
1
+ 1
----
वो कहता है, "इस shop की machines में इसका answer 2 नहीं है। यहाँ 2 है ही नहीं।"
Binary में सिर्फ 2 ही symbols होते हैं, 0 और 1। तो जब किसी column का total 2 तक पहुँचता है, तब कुछ और होना पड़ता है, ठीक वही चीज़ जो decimal में होती है जब कोई column 10 तक पहुँच जाता है। ये तरीका आपको पहले से आता है, primary school से ही आप इसे use करते आ रहे हैं।
Theory
जो carry आपको पहले से आती है
Decimal में 7 + 5 = 12: आप 2 लिखते हैं और 1 carry करते हैं, क्योंकि 12 ने base (10) को cross कर लिया। Binary भी बिल्कुल यही करता है, बस एक step पहले: 1 + 1 = 2, जो base (2) को cross कर लेता है, इसलिए आप 0 लिखते हैं और 1 carry करते हैं। Binary में लिखा जाए तो 2 का मतलब है "10"। वही पुराना carry rule है, बस base छोटा है तो जल्दी trigger हो जाता है।
At a glance
पूरा rulebook
| Addition | Result | Subtraction | Result |
|---|---|---|---|
| 0 + 0 | 0 | 0 - 0 | 0 |
| 0 + 1 or 1 + 0 | 1 | 1 - 0 | 1 |
| 1 + 1 | 0, carry 1 | 1 - 1 | 0 |
| 1 + 1 + 1 | 1, carry 1 | 0 - 1 | 1, borrow 1 |
Theory
करके देखें: 1011 + 110
पहले right से align करो, फिर column by column जोड़ो और carries ऊपर लिखो:
carry: 1 1 1
1 0 1 1 (= 11)
+ 1 1 0 (= 6)
------------------
1 0 0 0 1 (= 17)
Column का सफर (right to left): 1+0 = 1। फिर 1+1 = 0 carry 1। फिर 0+1+carry = 0 carry 1। फिर 1+carry = 0 carry 1। और आखिरी carry आगे गिर जाती है: 1।
Decimal में verify करो: 11 + 6 = 17 ✓। ये line कभी skip मत करना।
Theory
करके देखें: 1010 - 11
1 0 1 0 (= 10)
- 1 1 (= 3)
------------------
1 1 1 (= 7)
Right column: 0 - 1 हो नहीं सकता, तो अगले column से borrow लो: 10 - 1 = 1। अगले column ने अपना 1 दे दिया, तो अब वो 0 - 1 है: फिर borrow करो, 10 - 1 = 1। अगला: 0 - 0 (उधार देने के बाद) = 1... ध्यान से, इसे paper पर धीरे धीरे करो।
Verify करो: 10 - 3 = 7 ✓। Borrows बिल्कुल decimal की तरह chain होती हैं जब बीच में zeros हों (जैसे 100 - 1)।
Think first
अब आपकी बारी: 101 + 11
Paper पर 101 + 11 जोड़ो, हर column के ऊपर carries लिखो। फिर reveal करने से पहले decimal में verify करो।
Show the answer
carry: 1 1
1 0 1 (= 5)
+ 1 1 (= 3)
--------------
1 0 0 0 (= 8)
Right: 1+1 = 0 carry 1। Middle: 0+1+1 = 0 carry 1। Left: 1+carry = 0 carry 1, जो आगे गिर जाता है। 1000₂ = 8 ✓। अगर आपने कहीं भी 112 लिख दिया, तो समझ लो base की policing शुरू हो जाएगी।
Quiz
Binary में 1 + 1 कितना होता है?
- 10
- 2
- 11
- 1
Show the answer
10
2 binary के base को cross कर लेता है, इसलिए इसे 10 लिखा जाता है (one-zero, मतलब एक two और zero ones), यानी 0 लिखो और 1 carry करो। Symbol 2 binary में होता ही नहीं; और 11 का मतलब 3 होता। ये छोटा सा question किसी न किसी रूप में लगभग हर paper में आता है।
Watch out
जहाँ marks लीक होते हैं
Binary answer में कहीं भी digit 2 आ गया: तुरंत पता चल जाता है कि base में गड़बड़ हुई है। Chained carries छूट जाना: जब 1+1+1 होता है, तो sum 1 होता है AND carry आगे भी जाता है; carries हमेशा columns के ऊपर लिखो। Borrow का हिसाब: उधार देने के बाद, देने वाले column में से 1 कम हो जाता है; इसे लिखकर track करो, दिमाग में नहीं। और हर problem को decimal verification line के साथ ही खत्म करो।
Theory
आपने अभी ALU का काम किया है
याद है block diagram वाला ALU? Column by column binary addition with carries बिल्कुल यही काम है जो उसकी adder circuits करती हैं, और वो भी per second अरबों बार। Real hardware में subtraction एक clever trick (two's complement) से होता है, जो आप आगे पढ़ेंगे; और आज जो rules सीखे, वही उसकी नींव हैं।
Summary
Key takeaways
- Addition rules: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=0 carry 1, 1+1+1=1 carry 1।
- Subtraction rules: 1-0=1, 1-1=0, 0-1=1 और अगले column से एक borrow।
- Carries columns के ऊपर लिखो और borrows को paper पर track करो।
- Symbol 2 binary के काम में कभी नहीं आता।
- हमेशा operands और answer को decimal में convert करके verify करो।
- Memory hook: one plus one is one-zero।