Theory
ગણતરીથી આકારો અને અજ્ઞાત સુધી
લીલાવતી ફક્ત અંકગણિત નથી. ભાસ્કરાચાર્યનો ગ્રંથ બીજગણિત (અજ્ઞાત રાશિઓ સાથે કામ) અને ભૂમિતિ (ક્ષેત્રફળ, અને આકૃતિઓની બાજુઓ વચ્ચેના સંબંધ) પણ આવરી લે છે.
એમાં નોંધાયેલાં geometric પરિણામોમાં એક એવું છે જેને દરેક વિદ્યાર્થી ઓળખે છે: કાટખૂણ ત્રિકોણ ની બાજુઓ વચ્ચેનો સંબંધ. આ પાઠ લીલાવતીનાં બીજગણિત અને ભૂમિતિ આવરી લે છે, અને એ પ્રસિદ્ધ સંબંધને ધ્યાનપૂર્વક તથા ચોકસાઈથી સંભાળે છે: ખરું ગણિત શીખવે છે અને સાથે એનો ઇતિહાસ પ્રામાણિકપણે રજૂ કરે છે. પહેલાંની જેમ અહીં પણ શ્લોક ક્રમાંક ફક્ત દિશાસૂચક તરીકે આપીએ છીએ અને ચોક્કસ શબ્દો માટે તમને નક્કી કરેલું પુસ્તક તરફ મોકલીએ છીએ.
Watch out
ધ્યાનપૂર્વકની, factual રજૂઆત
આ વિષય એવા સંબંધને સ્પર્શે છે જે અનેક પ્રાચીન ગણિત પરંપરાઓમાં જોવા મળે છે. આપણે એને ચોકસાઈથી કહીએ છીએ: કાટખૂણ ત્રિકોણનો સંબંધ (a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ) લીલાવતીમાં આવે છે, અને પશ્ચિમમાં એ પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. 'પહેલાં કોણે શોધ્યું' એ વિશે આપણે કોઈ સ્પર્ધાત્મક કે વિજયના દાવા કરતા નથી; ગણિતનો ઇતિહાસ સહિયારો અને ગૂંચવણભર્યો છે. આપણે નોંધાયેલું ગણિત નમ્રતાથી રજૂ કરીએ છીએ, ગ્રંથનું નામ આપીએ છીએ, અને શ્લોકોનો ઉલ્લેખ ફક્ત દિશાસૂચક તરીકે કરીએ છીએ, ક્યારેય શ્લોકનો પાઠ કે અનુવાદ ઉપજાવી કાઢતા નથી.
Theory
કાટખૂણ ત્રિકોણનો સંબંધ
કાટખૂણ ત્રિકોણ (જેમાં એક ખૂણો 90 અંશનો હોય) માટે એની બાજુઓ વચ્ચેનો સંબંધ આ છે:
a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ
જ્યાં a અને b એ બે નાની બાજુઓ છે અને c એ કર્ણ છે (સૌથી લાંબી બાજુ, જે કાટખૂણાની સામે હોય છે).
સ્વચ્છ ગણી બતાવેલો દાખલો, એટલે કે 3-4-5 વાળો ત્રિકોણ:
- a બરાબર 3, b બરાબર 4, c બરાબર 5
- 3 નો વર્ગ વત્તા 4 નો વર્ગ બરાબર 9 વત્તા 16 બરાબર 25
- 5 નો વર્ગ બરાબર 25
- બંને મળી રહે છે, એટલે 3, 4, 5 કાટખૂણ ત્રિકોણ રચે છે
લીલાવતી આ સંબંધ જણાવે છે, જે પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. એ ભારતીય શુલ્બ સૂત્રો સહિત અનેક પ્રાચીન પરંપરાઓમાં જોવા મળે છે, જે દર્શાવે છે કે ગણિત માનવજાતની સહિયારી સિદ્ધિ છે.
Quiz
જે કાટખૂણ ત્રિકોણની બે નાની બાજુઓ 3 અને 4 છે, એના કર્ણની લંબાઈ કેટલી થાય, જો a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ વાપરીએ?
- 7
- 5, કારણ કે 3 નો વર્ગ વત્તા 4 નો વર્ગ બરાબર 9 વત્તા 16 બરાબર 25, અને 25 નું વર્ગમૂળ 5 છે
- 12
- 25
Show the answer
5, કારણ કે 3 નો વર્ગ વત્તા 4 નો વર્ગ બરાબર 9 વત્તા 16 બરાબર 25, અને 25 નું વર્ગમૂળ 5 છે
સંબંધ લગાડો: c નો વર્ગ બરાબર a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર 3 નો વર્ગ વત્તા 4 નો વર્ગ બરાબર 9 વત્તા 16 બરાબર 25, એટલે c બરાબર 25 નું વર્ગમૂળ બરાબર 5. 3-4-5 વાળો ત્રિકોણ આ કાટખૂણ સંબંધનો પાઠ્યપુસ્તક જેવો દાખલો છે. વિકલ્પ A (7) બાજુઓ ખોટી રીતે ઉમેરી દે છે (3 વત્તા 4). વિકલ્પ C (12) નો કોઈ આધાર નથી. વિકલ્પ D (25) c ના વર્ગ પર જ અટકી જાય છે અને વર્ગમૂળ લેવાનું ભૂલી જાય છે, જે સામાન્ય ભૂલ છે: 25 એ c નો વર્ગ છે, અને c પોતે 5 છે. લીલાવતીમાં જણાવાયેલો અને પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાતો આ સંબંધ ખરું, નોંધાયેલું ગણિત છે જે અનેક પ્રાચીન પરંપરાઓમાં જોવા મળે છે. ધ્યાનથી ગણો: વર્ગ કરો, ઉમેરો, પછી વર્ગમૂળ લો.
Think first
'પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસ તરીકે ઓળખાય છે' એમ કેમ કહેવું?
આ પાઠ એને સીધું 'પાયથાગોરસનું પ્રમેય' કહેવાને બદલે 'પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાતો સંબંધ' કહે છે. આટલી કાળજીભરી શબ્દરચના કેમ? વિચારીને પછી tap કરો.
Show the answer
કારણ કે કાટખૂણ ત્રિકોણનો આ સંબંધ અનેક પ્રાચીન ગણિત પરંપરાઓમાં સ્વતંત્ર રીતે જોવા મળે છે: ભારતીય શુલ્બ સૂત્રોમાં (સામાન્ય યુગ પહેલાંની સદીઓમાં) અને પછીની આ લીલાવતીમાં, તથા બેબીલોનીયન અને બીજા સ્રોતોમાં પણ, ફક્ત પાયથાગોરસ સાથે જોડાયેલી ગ્રીક પરંપરામાં જ નહીં.
એને સીધું 'પાયથાગોરસનું પ્રમેય' કહેવાથી એવા પરિણામનો શ્રેય એક જ પરંપરાને મળી જાય છે જે ખરેખર અનેક પરંપરાઓમાં જાણીતું હતું. 'પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે' એવી કાળજીભરી શબ્દરચના ગણિતને ચોકસાઈથી નામ આપે છે અને સાથે એની અનેક ઉત્પત્તિઓ સ્વીકારે છે, અને એ પણ સામી બાજુની ભૂલ કર્યા વગર, એટલે કે એક સંસ્કૃતિએ બીજીની 'નકલ કરી' એવા વિજયી દાવા કર્યા વગર.
ગણિતનું જ્ઞાન માનવજાતની સહિયારી સિદ્ધિ છે, જે અનેક સ્થળે વિકસ્યું; પ્રામાણિક scholarship એને એ જ રીતે રજૂ કરે છે. ચોક્કસ શ્લોક માટે નક્કી કરેલું પુસ્તક જુઓ; ગણિત પોતે તો સાર્વત્રિક છે.
Theory
આનો સારો અભ્યાસ કઈ રીતે કરવો
નોંધાયેલું ગણિત જાણો, એટલે કે કાટખૂણ ત્રિકોણનો સંબંધ a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ, તથા લીલાવતીનાં બીજગણિત અને ભૂમિતિ; અને ઇતિહાસને ચોકસાઈથી તથા નમ્રતાથી રજૂ કરો (સહિયારું પરિણામ, જે પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે). ચોક્કસ શ્લોકો માટે નક્કી કરેલા પુસ્તકનો સંદર્ભ આપો. આગળનો વિષય વ્યવહારુ અને code આધારિત છે: આ સૂત્રો (અંકગણિત અને કાટખૂણ ત્રિકોણની ચકાસણી) ને Python જેવી programming language માં implement કરવાં, જે તમે શીખેલા ગણિતને લગાડતી સામાન્ય coding કસરત છે.
Summary
Key takeaways
- લીલાવતી અંકગણિતથી આગળ જઈને બીજગણિત (અજ્ઞાત સાથે કામ) અને ભૂમિતિ (ક્ષેત્રફળ, બાજુઓ વચ્ચેના સંબંધ) પણ આવરે છે.
- એ કાટખૂણ ત્રિકોણનો સંબંધ જણાવે છે: a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ (a, b નાની બાજુઓ; c કર્ણ).
- 3-4-5 વાળો ગણી બતાવેલો દાખલો: 3 નો વર્ગ વત્તા 4 નો વર્ગ બરાબર 9 વત્તા 16 બરાબર 25 બરાબર 5 નો વર્ગ, એટલે કર્ણ 5 થાય.
- આ સંબંધ પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે અને અનેક પ્રાચીન પરંપરાઓમાં જોવા મળે છે (શુલ્બ સૂત્રો સહિત).
- ઇતિહાસ ચોકસાઈથી અને નમ્રતાથી રજૂ કરો: સહિયારું માનવીય ગણિત, અને 'કોણે કોની નકલ કરી' જેવા વિજયી દાવા નહીં.
- શ્લોક ક્રમાંક દિશાસૂચક તરીકે આપો; verbatim શ્લોકો માટે નક્કી કરેલું પુસ્તક જુઓ.
- યાદ રાખવાની કડી: બે નાની બાજુઓના વર્ગ કરો, ઉમેરો, અને કર્ણ માટે વર્ગમૂળ લો.