Ancient Indian Arithmetic from Lilavati Samhita by Bhaskaracharya-I: Arithmetic rule (Sutra Verse 1); Multiplication of Large Numbers (Sutra Verse 5); Division (Sutra Verse 8)

📖 Theory

કાવ્યરૂપે લખાયેલું અંકગણિત

આ unit પૂરતાં frameworks બાજુ પર મૂકો. લગભગ 900 વર્ષ પહેલાં ભાસ્કરાચાર્ય નામના ગણિતજ્ઞે લીલાવતી નામનો ગ્રંથ લખ્યો હતો: અંકગણિત અને માપનનું સંપૂર્ણ, વ્યવસ્થિત માર્ગદર્શન, જેમાં પ્રશ્નો પદ્ય રૂપે મૂકાયેલા છે. ભારતીય ગણિતની સૌથી પ્રસિદ્ધ કૃતિઓમાં એની ગણના થાય છે.

આ પાઠ લીલાવતી જે નોંધાયેલી અંકગણિતની પદ્ધતિઓ શીખવે છે એ આવરી લે છે: મોટી સંખ્યાઓ ગુણવાની અને ભાગવાની રીતો, જે અહીં વ્યવસ્થિત રીતે અને એ scholarship પ્રત્યેના આદર સાથે રજૂ થઈ છે. અગાઉના IKS units ની જેમ અહીં પણ આપણે ખરું ગણિત શીખવીએ છીએ અને ચોક્કસ શ્લોકો માટે તમને નક્કી કરેલું પુસ્તક તરફ મોકલીએ છીએ.

⚠️ Watch out

આ પાઠ મૂળ ગ્રંથને કઈ રીતે સંભાળે છે

આપણે ગ્રંથનું નામ (લીલાવતી) અને એના રચયિતા (ભાસ્કરાચાર્ય, એટલે કે ભાસ્કર બીજા, 12 મી સદી) સાચી રીતે આપીએ છીએ, અને નોંધાયેલી ગણિતની પદ્ધતિઓ રજૂ કરીએ છીએ. આપણે સંસ્કૃત શ્લોકનો પાઠ કે એના ચોક્કસ અનુવાદ ઉપજાવી કાઢતા નથી કે ફરી લખતા નથી. અભ્યાસક્રમમાં આપેલા શ્લોક ક્રમાંક (શ્લોક 1, 5, 8) ફક્ત દિશાસૂચક છે; ચોક્કસ શ્લોક માટે નક્કી કરેલી આવૃત્તિ જુઓ. હેતુ એ છે કે ગણિત ચોકસાઈથી સમજાય અને એક આદરણીય પરંપરા અતિશયોક્તિ વગર પ્રામાણિકપણે રજૂ થાય. (નોંધ: અભ્યાસક્રમમાં 'ભાસ્કરાચાર્ય પહેલા' લખ્યું છે; લીલાવતી ભાસ્કર બીજાની કૃતિ છે.)

📖 Theory

ટુકડામાં વહેંચીને ગુણવું

લીલાવતીની એક નોંધાયેલી પદ્ધતિ મોટી સંખ્યાઓને અનુકૂળ place value ના ટુકડા માં વહેંચીને ટુકડે ટુકડે ગુણે છે અને પછી સરવાળો કરે છે: એટલે કે વ્યવસ્થિત રીતે લગાડેલો distributive નિયમ.

દાખલા તરીકે, 125 ગુણ્યા 12 ગણવા હોય તો 12 ને 10 વત્તા 2 માં વહેંચો:

• 125 ગુણ્યા 10 બરાબર 1250
• 125 ગુણ્યા 2 બરાબર 250
• સરવાળો: 1250 વત્તા 250 બરાબર 1500

આ સ્પષ્ટ અને સામાન્ય પદ્ધતિ છે, અને લીલાવતી આવી અનેક રીતો રજૂ કરે છે. દશાંશ place value પદ્ધતિની અંદર રહીને, જે પરંપરા વિકસાવવામાં ભારતીય ગણિતે ઘણું પ્રદાન કર્યું, આ રીતોએ મોટી ગણતરીઓને વ્યવસ્થિત અને શીખવી શકાય એવી બનાવી, અને લીલાવતી જેવો ગ્રંથ એટલે જ મહત્ત્વનો ઠર્યો.

🧩 Quiz

લીલાવતીની જે પદ્ધતિમાં મોટી સંખ્યાને place value ના ટુકડામાં વહેંચીને આંશિક ગુણનફળ ઉમેરાય છે, એ મૂળે કયો સિદ્ધાંત છે?

1. અડસટ્ટે અટકળ
2. Distributive સિદ્ધાંત: a x (b + c) = a x b + a x c, જે વ્યવસ્થિત રીતે લગાડાયો છે
3. છૂપા વેશમાં ભાગાકાર
4. આંગળીના વેઢે ગણવું

💭 Think first

અંકગણિત પદ્યમાં કેમ લખવું?

લીલાવતી પોતાના ગણિતના પ્રશ્નો પ્રસિદ્ધ રીતે પદ્ય (કાવ્ય) માં મૂકે છે. કોઈ ગણિતજ્ઞ એવું કેમ કરે, અને એ પરથી તે સમયે ગણિત કઈ રીતે શીખવાતું હતું એ વિશે શું જાણવા મળે? વિચારીને પછી tap કરો.

📖 Theory

આનો સારો અભ્યાસ કઈ રીતે કરવો

પરીક્ષા માટે નોંધાયેલી પદ્ધતિઓ જાણો (ટુકડામાં વહેંચીને વ્યવસ્થિત ગુણાકાર, અને ભાગાકાર), એમને લીલાવતી તથા ભાસ્કરાચાર્યને આભારી ગણો, અને દાવા factual તથા નમ્ર રાખો. કોઈ પણ ચોક્કસ શ્લોક કે આંકડા માટે ઉપજાવી કાઢવાને બદલે નક્કી કરેલા પુસ્તકનો સંદર્ભ આપો. આગળનો વિષય લીલાવતીના બીજગણિત અને ભૂમિતિ ને આવરી લે છે, જેમાં કાટખૂણ ત્રિકોણની બાજુઓ વચ્ચેનો સંબંધ પણ આવે છે, જે પશ્ચિમમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે, અને એ ધ્યાનપૂર્વક રજૂ થયો છે.

✅ Summary

Key takeaways

• લીલાવતી એ ભાસ્કરાચાર્ય (ભાસ્કર બીજા, 12 મી સદી) રચિત અંકગણિત અને માપનનો શાસ્ત્રીય ગ્રંથ છે.
• એ અંકગણિતની વ્યવસ્થિત પદ્ધતિઓ રજૂ કરે છે અને પ્રસિદ્ધ રીતે પ્રશ્નો પદ્યમાં મૂકે છે (યાદ રહે અને આગળ પહોંચે એ માટે).
• એક નોંધાયેલી ગુણાકાર પદ્ધતિ સંખ્યાને place value ના ટુકડામાં વહેંચીને આંશિક ગુણનફળ ઉમેરે છે (distributive સિદ્ધાંત): 125 x 12 બરાબર 1250 વત્તા 250 બરાબર 1500.
• એ દશાંશ place value પદ્ધતિની અંદર રહીને ભાગાકારની રીતો પણ શીખવે છે.
• શ્લોક ક્રમાંક (1, 5, 8) ફક્ત દિશાસૂચક છે; verbatim શ્લોકો માટે નક્કી કરેલું પુસ્તક જુઓ.
• દાવા factual અને નમ્ર રાખો; અભ્યાસક્રમ 'ભાસ્કરાચાર્ય પહેલા' લખે છે, પણ આ કૃતિ ભાસ્કર બીજાની છે.
• યાદ રાખવાની કડી: લીલાવતીએ અંકગણિતને સ્પષ્ટ, યાદ રહી જાય એવી, સામાન્ય પદ્ધતિઓ તરીકે શીખવ્યું.