Theory
એક સવાલ જે computer પૂછશે
2 lists બનાવવાનો પ્રયત્ન કરો:
1. તમારા class ના એવા બધા students જે 170 cm કરતાં ઊંચા છે.
2. તમારા class ના બધા good singers.
List 1 સહેલી છે: માપો, નક્કી કરો, પતી ગયું. પણ List 2 માં તો ઝઘડો થઈ જાય, કારણ કે "good" નો મતલબ દરેક જણ માટે અલગ હોય છે.
Mathematics ફક્ત list 1 જેવા collections સાથે જ કામ કરે છે, જ્યાં membership ચોખ્ખું yes કે no હોય. આવા collection ને એક નામ છે: set.
Theory
Label વાળા boxes
Set ને એક label વાળા box તરીકે વિચારો. Label એ એક નિયમ છે ("natural numbers below 5"), અને કોઈ પણ object માટે તમે label જોઈને તરત જ કહી શકો: અંદર જાય, કે બહાર રહે. કોઈ object અડધું અંદર ના હોય. આ તરત નક્કી થઈ જતું in-or-out, એને જ mathematicians well-defined કહે છે.
Theory
Definition અને notation
A set is a well-defined collection of distinct objects, called its elements.
એટલે કે:
- Sets ને capital letters આપીએ: A, B, V
- Elements ને curly brackets માં લખીએ: A = {1, 2, 3, 4}
- ∈ એટલે "is an element of", ∉ એટલે "is not"
તો A = {1, 2, 3, 4} માટે: 3 ∈ A, પણ 6 ∉ A. આ એક symbol ની જોડી જ આખા set theory નો મોટા ભાગનો ભાર ઉપાડે છે.
Quiz
આમાંથી કયો collection એક set છે?
- તમારા class ના tall students
- તમારા class ના 170 cm કરતાં ઊંચા students
- 2025 માં release થયેલી good movies
- BCA ના difficult subjects
Show the answer
તમારા class ના 170 cm કરતાં ઊંચા students
ફક્ત option B એવો test આપે છે જે કોઈ પણ લગાડે તો એક જ જવાબ આવે: 170 cm સામે માપો. "Tall", "good" અને "difficult" તો opinion છે, એટલે એ collections well-defined નથી અને set પણ નથી. Exams માં આ જ વસ્તુ justify કરવાનું બહુ પૂછે છે.
Theory
Distinct એટલે એક જ વાર ગણાય
Set માં ક્યારેય એક જ element 2 વાર ના હોય. {1, 2, 2, 3} લખવાની છૂટ છે, પણ એ ખરેખર set {1, 2, 3} જ છે: 3 elements, 4 નહીં.
Order નો પણ કંઈ ફરક નથી પડતો: {1, 2, 3} અને {3, 1, 2} બંને એક જ set છે. Set ને ફક્ત એટલું જ યાદ રહે છે કે box માં શું છે, કેટલી copies છે કે કયા order માં છે એની એને પડી નથી.
Think first
MISSISSIPPI શબ્દના letters લો અને એમાંથી એક set બનાવો.
Tap કરતાં પહેલાં વિચારો: એ set માં કેટલા elements હશે?
Show the answer
4: set છે {M, I, S, P}.
શબ્દમાં 11 letters છે, પણ set દરેક distinct object ને એક જ વાર રાખે છે. તમે જો 11 કહ્યું, તો તમે copies ગણી નાખી, જે set ક્યારેય ના કરે. Exam માં આ પ્રકારનો સવાલ એક-marks ના trap તરીકે આવે છે.
Theory
ઓળખવા જેવા 3 special sets
- Empty (null) set: એમાં એકેય element નહીં, લખાય { } કે Ø. દા.ત. 200 વર્ષની ઉંમરના BCA students.
- Finite set: જેના elements ગણી ગણીને પતાવી શકાય, જેમ કે {a, e, i, o, u}.
- Infinite set: જ્યાં ગણવાનું ક્યારેય પતે જ નહીં, જેમ કે natural numbers {1, 2, 3, ...}.
Subsets, equal sets અને power sets તો હવે પછીના topics માં આવશે; અત્યારે આ 3 પૂરતાં છે.
Quiz
{0} કયા પ્રકારનો set છે?
- Empty set, કારણ કે 0 એટલે કંઈ નહીં
- એક જ element વાળો finite set
- એક infinite set
- એ set જ નથી
Show the answer
એક જ element વાળો finite set
{0} માં એક element છે, number 0, એટલે એ size 1 નો finite set છે. Empty set માં તો એકેય element ના હોય અને એ { } કે Ø લખાય. {0} ને Ø સાથે ગૂંચવવી એ first-year ની સૌથી common ભૂલોમાંની એક છે.
Watch out
જ્યાં marks ટપકે છે
3 ટેવ પાડો તો set theory ની મોટા ભાગની ભૂલો બંધ થઈ જશે: કંઈ set છે કે નહીં એ પૂછે ત્યારે "well-defined" ને શબ્દોમાં justify કરો; duplicate elements ને 2 વાર ના ગણો; {0} ને empty ના કહો. અને empty set માટે Ø કે { } લખો, 0 નહીં: 0 તો number છે, set નથી.
Theory
આ ફરી ક્યાં મળશે
એક database table એ records નો set જ છે, અને SQL માં DISTINCT keyword એટલા માટે જ છે કારણ કે sets duplicates ને ગણકારતાં નથી. તમારા આગળના topics (representation, operations, Venn diagrams) અને પછીના units (relations, functions, Boolean algebra) બધા આજના આ એક જ idea પર ઊભા છે.
Summary
Key takeaways
- Set એ distinct objects નો well-defined collection છે; membership ચોખ્ખું yes કે no હોય.
- Notation: capital letters, curly brackets, element નું symbol અને એનું negation.
- Duplicates એક જ વાર ગણાય અને order નો ફરક નથી: {1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}.
- Empty set Ø માં એકેય element નહીં; finite sets પતે, infinite sets ના પતે; {0} empty નથી.
- યાદ રાખવાનો hook: set હંમેશા yes કે no આપે, ક્યારેય maybe નહીં.