Theory
20 સેકન્ડનો એક પ્રશ્ન
એક class માં 40 students છે, 25 ને cricket ગમે છે, 20 ને football ગમે છે, અને 12 ને બંને ગમે છે.
કેટલા students ને એકેય નથી ગમતું?
હવે તમે numbers સામે તાકી તાકીને guess મારી શકો. અથવા 2 overlapping circles દોરીને 20 સેકન્ડમાં ચિત્ર પરથી જ answer વાંચી લો. એ ચિત્ર એટલે Venn diagram, અને exam માં આ તમારું સૌથી ગમતું tool બનવાનું છે.
Theory
2 friend circles
તમારા school friends ને એક circle ગણો અને college friends ને બીજું circle. થોડાક લોકો બંને circles માં આવે છે, એટલે circles overlap થાય છે. બાકીની આખી દુનિયા બંનેની બહાર બેઠી છે. એ બહારની જગ્યા એટલે circles ની આજુબાજુ દોરેલો rectangle: universal set.
Theory
4 regions
rectangle ની અંદર 2 overlapping circles A અને B આખા ચિત્રને બરાબર 4 regions માં વહેંચી નાખે છે:
- Only A: A ની અંદર, B ની બહાર
- Only B: B ની અંદર, A ની બહાર
- Both: વચ્ચેનો overlapping ભાગ (A ∩ B)
- Neither: rectangle ની અંદર, પણ બંને circles ની બહાર
Universal set નું દરેક element આ ચારમાંથી બરાબર એક જ જગ્યાએ રહે છે. આ કારણે જ counting કામ કરે છે.
Think first
આ class નો પ્રશ્ન મનમાં જ try કરો. કુલ 40 students, 25 cricket, 20 football, 12 બંને.
Overlap થી શરૂ કરો: વચ્ચે 12 બેસશે. હવે only cricket કેટલા, only football કેટલા, અને એકેય ન ગમે એવા કેટલા?
Show the answer
Only cricket: 25 − 12 = 13. Only football: 20 − 12 = 8.
circles ની અંદર: 13 + 12 + 8 = 33. એટલે neither: 40 − 33 = 7.
મેથડ પર ધ્યાન આપો: પહેલાં વચ્ચેનો ભાગ ભરો, પછી બહાર તરફ કામ કરો. આ એક જ ટેવ લગભગ દરેક Venn counting question solve કરી નાખશે.
Theory
Operations એટલે shading
દરેક set operation એ ખરેખર તો shade કરવાનું એક region છે:
- A ∪ B (union): બંને circles પૂરેપૂરાં shade કરો, એટલે "in A or B or both"
- A ∩ B (intersection): ફક્ત વચ્ચેનો overlapping ભાગ shade કરો
- A′ (complement): circle A ની બહાર rectangle સુધીનું બધું shade કરો
- A − B (difference): A shade કરો પણ overlap ભૂંસી નાખો, એટલે "A only"
જો તમે એને shade કરી શકો, તો તમે એ સમજી ગયા. formula ની જરૂર જ નથી.
Quiz
કયું region એ A ∩ B છે?
- બંને circles મળીને જે કંઈ ઢંકાય એ બધું
- ફક્ત વચ્ચેનો overlapping ભાગ
- A નો એ ભાગ જે B ને અડતો નથી
- બંને circles ની બહારનું બધું
Show the answer
ફક્ત વચ્ચેનો overlapping ભાગ
Intersection એટલે "એકસાથે બંને માં", જે બરાબર overlap જ છે. પહેલો option A ∪ B બતાવે છે, ત્રીજો A − B છે, અને છેલ્લો (A ∪ B)′ છે.
Quiz
class ના પ્રશ્નમાં, "football ગમે પણ cricket નહીં" એવા students કયું region છે?
- આખું football circle
- 2 circles નો overlap
- football circle માંથી overlap બાદ
- cricket circle ની બહારનું બધું
Show the answer
football circle માંથી overlap બાદ
"પણ નહીં" એટલે difference operation: F − C, એટલે football-only વાળો ચંદ્રાકાર ભાગ. ઉપરના numbers માં એ region માં 8 students હતા. Exam ના શબ્દો regions સાથે mapped છે: "both" એટલે ∩, "or" એટલે ∪, "but not" એટલે −, "neither" એટલે બંનેની બહાર.
Theory
3 sets, 8 regions
3 overlapping circles A, B, C 8 regions બનાવે છે: વચ્ચેનું center (ત્રણેમાં), "બરાબર 2" વાળા 3 overlaps, "ફક્ત એક" વાળા 3 ચંદ્રાકાર ભાગ, અને બહારનું.
Strategy એની એ જ રહે છે, ફક્ત repeat થાય છે:
1. પહેલાં center (A ∩ B ∩ C) ભરો.
2. 3 pair overlaps ભરો, center ને બાદ કરીને.
3. 3 "only" regions ભરો.
4. જે વધે એ બહાર બેસશે.
Watch out
2 marks જ્યાં students ગુમાવે છે
પહેલું: neither region ભૂલી જવું. બધું મળીને universal set ના total જેટલું જ થવું જોઈએ, એટલે sum ચકાસો. બીજું: "only cricket" region માં 25 લખી નાખવું. 25 તો આખું cricket circle છે; only cricket એટલે 25 માંથી overlap બાદ. પહેલાં વચ્ચેનો ભાગ ભરો, પછી આ ભૂલ થવાની જ શક્યતા નહીં રહે.
Theory
આ ફરી ક્યાં મળશે
DBMS માં SQL joins એ Venn diagrams જ છે (inner join એટલે overlap, left join એટલે એક circle plus overlap). Probability ના questions એ જ regions ને 0 અને 1 વચ્ચેના numbers સાથે વાપરે છે. "BCA students જેમને Python આવડે પણ Java નહીં" જેવા search filters પણ ખરેખર A − B જ છે, બસ છૂપાયેલા સ્વરૂપમાં.
Summary
Key takeaways
- Venn diagram sets ને rectangle (universal set) ની અંદર overlapping circles તરીકે બતાવે છે.
- 2 sets 4 regions બનાવે છે: only A, only B, both, neither.
- Union બંને circles shade કરે છે, intersection overlap shade કરે છે, difference એક circle માંથી overlap બાદ કરીને shade કરે છે.
- Counting ના પ્રશ્નોમાં પહેલાં સૌથી અંદરનો overlap ભરો ને બહાર તરફ કામ કરો, પછી total ચકાસો.
- યાદ રાખવાની ટ્રિક: પહેલાં વચ્ચેનો ભાગ ભરો.