Theory
એક જ વસ્તુના 3 ફોટા
ધારો કે exam માં કયા students top આવ્યા એ તમારે friend ને કહેવું છે. કઈ કઈ રીતે કહી શકો?
એક રીત: describe કરીને, "90 થી વધારે marks લાવ્યા એ બધા". બીજી રીત: નામ લઈને, "Priya, Arjun, Fatima". ત્રીજી રીત: એક એવો rule આપીને જે computer પણ ચલાવી શકે, "દરેક x જ્યાં marks(x) > 90".
Group એક જ છે, પણ describe કરવાની 3 રીત. Sets પણ બરાબર આ જ રીતે કામ કરે છે, અને exam માં તમને આ ત્રણેય વચ્ચે convert કરવાનું પૂછાય છે.
Theory
શબ્દો, list, formula
આ 3 form ને એક જ set ના 3 અલગ angle થી પાડેલા ફોટા સમજો: માણસ સમજે એ માટે એક sentence, ઝડપથી check કરવા માટે એક list, અને લાખો elements ને list કર્યા વગર handle કરવા માટે એક formula. Set માં કંઈ બદલાતું નથી, ફક્ત camera નો angle બદલાય છે.
Theory
Form 1: statement (descriptive)
Statement form માં તમે set ને સાદા શબ્દોમાં એટલી ચોખ્ખાઈથી describe કરો કે membership નો જવાબ સ્પષ્ટ yes કે no આવે.
Example: S = the set of all even natural numbers less than 10.
સારા statement form ની કસોટી એ છે: જે પણ વાંચે એ બધા એક જ set બનાવે. "The set of all interesting numbers" આ કસોટીમાં fail થાય છે, કારણ કે એ well-defined નથી.
Theory
Form 2: roster (tabular)
Roster form માં તમે curly brackets ની અંદર દરેક element list કરો:
A = {2, 4, 6, 8}
Set ની definition માંથી 2 નિયમ અહીં પણ લાગુ પડે છે:
- કોઈ element repeat ના થાય
- order નું કંઈ મહત્વ નથી, એટલે {8, 2, 6, 4} એ પણ એ જ set છે
મોટા પણ pattern વાળા sets માટે dots વાપરી શકાય: {1, 2, 3, ..., 100}.
Theory
Form 3: set-builder (rule)
Set-builder form માં તમે એક variable આપો છો અને એની values જે property satisfy કરવી જોઈએ એ આપો છો:
A = {x : x is an even natural number less than 10}
Colon (:) ને "such that" તરીકે વાંચો: "A is the set of all x such that x is an even natural number less than 10." Vertical bar પણ એ જ meaning આપે છે: {x | ...}. જ્યાં list કરવું અશક્ય હોય ત્યાં આ form બહુ કામ લાગે છે, જેમ કે {x : x is an even number}.
Quiz
{1, 4, 9, 16, 25} નું set-builder form નીચેમાંથી કયું છે?
- {x : x is a natural number less than 26}
- {x : x = n² for a natural number n ≤ 5}
- {x : x is an odd number less than 26}
- {1, 4, 9, 16, 25 : x is natural}
Show the answer
{x : x = n² for a natural number n ≤ 5}
જે elements list કર્યા છે એ પહેલા 5 perfect squares છે, અને option B એ જ કહે છે. Option A માં 25 સુધીના બધા natural numbers આવી જાય, જે ઘણા વધારે છે. Option D માં roster અને set-builder બંને syntax ભેળવી દીધા છે, આવો કોઈ form હોતો જ નથી, અને exam માં આ hybrid માટે marks કપાય.
Think first
પહેલા મનમાં જ roster form માં convert કરો:
B = {x : x is a letter of the word GOOGLE}
Show the answer
B = {G, O, L, E}: 4 elements.
એક જ question માં 2 trap છે: duplicates (word માં G અને O બબ્બે વાર આવે છે પણ set માં એક જ વાર) અને word ના letters નો order જાળવી રાખવાની લાલચ, જેનું કંઈ મહત્વ નથી. જો તમે 6 letters લખ્યા હોય તો roster ના નિયમો ફરી જોઈ લો.
Quiz
D = {2, 3, 5, 7, 11, 13}. કઈ statement form D ને બરાબર describe કરે છે?
- The set of odd numbers up to 13
- The set of prime numbers less than 14
- The set of numbers that divide 13
- The set of natural numbers from 2 to 13
Show the answer
The set of prime numbers less than 14
દરેક element prime છે અને 14 થી નીચેના બધા primes હાજર છે, perfect match. "Odd numbers" fail થાય કારણ કે 2 તો even છે અને 9 ગેરહાજર છે. Roster ને શબ્દોમાં convert કરવું એટલે એવી property શોધવી જે બધા જ elements ને fit થાય અને ફક્ત એ જ elements ને.
Watch out
Conversion ના traps
3 જગ્યાએ marks જાય છે: શબ્દોમાંથી roster બનાવતી વખતે elements repeat કરવા (GOOGLE માંથી 4 letters આવે, 6 નહીં); એવો set-builder rule લખવો જે બહુ પહોળો હોય (extra elements આવી જાય) કે બહુ સાંકડો હોય (અમુક છૂટી જાય); અને એક જ bracket માં forms ભેળવવા. હંમેશા ફરી check કરો: મારો rule બરાબર એ જ listed elements generate કરે છે ને?
Theory
આ તમને ફરી ક્યાં મળશે
Set-builder form એ દરેક database query અને list comprehension નો બાપ છે: SQL નું SELECT x FROM users WHERE age > 18 એ ખરેખર {x : x is a user such that age of x > 18} નું જ છૂપું રૂપ છે. Roster અને rule વાળી આ વિચારસરણી આગળ Venn diagrams, relations અને functions માં પાછી આવશે.
Summary
Key takeaways
- એક set, 3 representations: statement (શબ્દો), roster (curly brackets માં list), set-builder (variable સાથે rule).
- Roster form માં element ક્યારેય repeat ના થાય અને order નું મહત્વ ના હોય.
- Set-builder form માં colon કે bar ને 'such that' વાંચો, અને એ infinite sets પણ handle કરે છે જે list ના થઈ શકે.
- Convert કરવું એટલે એવો rule શોધવો જે બધા elements ને fit થાય અને ફક્ત એ જ elements ને.
- યાદ રાખવાની trick: words, list, formula, એક જ set ના 3 ફોટા.