Theory
એક ઉછાળથી આખી ભાત સુધી
ગયા પાઠે એકલા પ્રશ્નોના જવાબ આપ્યા: P(બે છાપ) = 1/4.
નવા પ્રકારનો પ્રશ્ન: એક student એક quiz માં ચારેય ચાર-વિકલ્પવાળા MCQ આંખ બંધ કરીને ધારે છે. 0 સાચા હોવાની શક્યતા કેટલી? બરાબર 1? બરાબર 2? ચારેય?
એક સંભાવના નહીં: દરેક શક્ય પરિણામનું એની સંભાવના સાથેનું આખું કોષ્ટક. એ કોષ્ટકનું નામ છે સંભાવનાનું distribution, અને બે પ્રખ્યાત distributions આ વિષય ચલાવે છે: એક ગણવા માટે, એક માપવા માટે.
Theory
તકોનું મેનુ
Distribution એ મેનુ છે: દરેક વાનગી (શક્ય મૂલ્ય) એની કિંમત (સંભાવના) સાથે યાદી થયેલી, અને કિંમતોનો સરવાળો હંમેશા બરાબર 1 થાય છે.
મેનુની બે શૈલી છે:
- અલગ (binomial): મર્યાદિત વાનગીઓ: 0, 1, 2, 3, 4 સાચા અંદાજ: દરેકનું પોતાનું કિંમતનું લેબલ.
- સળંગ (normal): અનંત સૂક્ષ્મ વાનગીઓ (ઊંચાઈ 167.4938... cm): એકલી વાનગીઓ મફત છે (P = 0); તમે હદો માટે ચૂકવો છો: વળાંક નીચેનું ક્ષેત્રફળ.
Theory
Binomial: સફળતાની ગણતરી
Binomial ત્યારે વાપરો જ્યારે ચારેય શરતો પળાય:
- પ્રયાસોની નિશ્ચિત સંખ્યા n,
- દરેક પ્રયાસમાં બે પરિણામ (સફળતા/નિષ્ફળતા),
- સફળતાની સંભાવના p દરેક પ્રયાસમાં એકસરખી,
- પ્રયાસો સ્વતંત્ર.
તો: P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) ગોઠવણો ગણે છે (n માંથી કયા k સફળ થયા). સરેરાશ = np, વિચરણ = np(1-p): જોડી તરીકે યાદ રાખવા લાયક.
Theory
ગણેલું: આંખ બંધ કરીને ધારનાર
n = 4 પ્રશ્નો, p = 1/4 (દરેકમાં ચાર વિકલ્પ). P(બરાબર 2 સાચા)?
1. C(4, 2) = 6 (કયા બે સાચા છે એ પસંદ કરવાની છ રીત).
2. p² = (0.25)² = 0.0625.
3. (1-p)² = (0.75)² = 0.5625.
4. P = 6 × 0.0625 × 0.5625 ≈ 0.211.
લગભગ 21% તક. સરેરાશ સાચા = np = 4 × 0.25 = 1: 4 પ્રશ્નના quiz માં આંખ બંધ કરીને ધારવાથી સામાન્ય રીતે એક mark મળે છે. આખું મેનુ (k = 0...4) નો સરવાળો બરાબર 1 થાય છે: distribution ની જાતતપાસ.
Theory
Normal: કુદરતનું માપન
CampusPulse ની ઊંચાઈઓ histogram તરીકે દોરો: એક સમમિત ટેકરો: મોટા ભાગના students વચ્ચે, બહુ ઓછા સાવ ઠીંગણા કે સાવ ઊંચા. એ ટેકરાને લીસો કરો અને તમને normal distribution મળે છે: bell curve.
એનું ઓળખપત્ર:
- સળંગ, સમમિત, ઘંટ આકારનું.
- બે પ્રાચલ: સરેરાશ μ (શિખર ક્યાં બેસે) અને SD σ (ઘંટ કેટલો પહોળો ફેલાય).
- સરેરાશ = મધ્યસ્થ = બહુલક, બધાં કેન્દ્રમાં.
- વળાંક નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ = 1; સંભાવના = હદ પરનું ક્ષેત્રફળ.
ઊંચાઈઓ, માપનની ભૂલો, અને મોટા વર્ગના પરીક્ષાના marks બધાં લગભગ normal બેસે છે: કુદરતનો પ્રિય આકાર.
Quiz
ઊંચાઈને normal તરીકે ગણાય છે. એક student P(ઊંચાઈ = બરાબર 170.000 cm) ગણે છે અને ધન સંખ્યા મેળવે છે. શું ખોટું છે?
- સળંગ variable માટે, કોઈ પણ એક ચોક્કસ મૂલ્યની સંભાવના 0 છે: ફક્ત **હદો** (વળાંક નીચેનું ક્ષેત્રફળ) સંભાવના વહન કરે છે
- કશું નહીં: ચોક્કસ મૂલ્યોની સંભાવના હંમેશા ધન હોય છે
- 170 અશક્ય છે કારણ કે એ સરેરાશ નથી
- Normal distribution ફક્ત marks સંભાળે છે, ઊંચાઈ નહીં
Show the answer
સળંગ variable માટે, કોઈ પણ એક ચોક્કસ મૂલ્યની સંભાવના 0 છે: ફક્ત **હદો** (વળાંક નીચેનું ક્ષેત્રફળ) સંભાવના વહન કરે છે
સળંગ માપપટ્ટીમાં અનંત મૂલ્યો હોય છે, એટલે કોઈ પણ એક ચોક્કસ બિંદુ પર સંભાવનાનું દળ શૂન્ય છે: એને બદલે તમે P(169.5 ≤ ઊંચાઈ ≤ 170.5) પૂછો છો, જે ઘંટ નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે. અલગ સામે સળંગનો આ ભેદ જ binomial (દરેક k પર ખરેખરી ઊંચાઈવાળા સ્તંભ) અને normal (એવો વળાંક જ્યાં ફક્ત ક્ષેત્રફળનો અર્થ છે) વચ્ચેની ખ્યાલની મુખ્ય ભાગલારેખા છે, અને પરીક્ષાઓ એને બરાબર આ સ્વરૂપમાં ચકાસે છે.
Think first
Distribution પસંદ કરો, બે વાર
બે પરિસ્થિતિ: (1) માતાપિતાને 10 સ્વતંત્ર ફોન, દરેક 0.6 ની સંભાવનાએ ઉપાડાય છે: ઉપાડાયેલાની સંખ્યા; (2) 5 kg પર ગોઠવાયેલા યંત્રે ભરેલી ચોખાની ગૂણોનું ચોક્કસ વજન. Tap કરતાં પહેલાં: દરેકને કયું distribution ગણે છે, અને ઓળખની નિશાની આપો.
Show the answer
(1) Binomial n = 10, p = 0.6 સાથે: નિશ્ચિત પ્રયાસ, બે પરિણામ, અચળ p, સ્વતંત્ર: ચારેય શરત તપાસાઈ, અને variable સફળતા ગણે છે.
(2) Normal: વજન એ સળંગ માપ છે જે નાની યાદૃચ્છિક ભૂલો સાથે 5 kg ની ગોઠવણની આસપાસ સમમિત રીતે ભેગું થાય છે.
સહજ પ્રતિભાવ: પુનરાવર્તિત હા/ના પ્રયાસમાં સફળતા ગણવી → binomial; સામાન્ય મૂલ્યની આસપાસ સળંગ રાશિ માપવી → normal.
Watch out
શરત તપાસવી એ જ પરીક્ષા છે
Binomial નો દુરુપયોગ: પાછાં મૂક્યા વગર 4 પત્તાં ખેંચવાં એ binomial નથી: દરેક ખેંચે p બદલાય છે (સ્વતંત્રતા તૂટી). કઈ શરત નિષ્ફળ જાય છે એ કહો.
સૂત્રની લપસણ: C(n, k) ભૂલવું (4 માંથી 2 મેળવવાની છ રીત છે, એક નહીં), કે p અને (1-p) પરના ઘાત અદલાબદલ કરવા.
Normal નો દુરુપયોગ: ચોક્કસ મૂલ્ય માટે ધન સંભાવના જણાવવી: ફક્ત હદો.
Theory
બંને વચ્ચેનો પુલ
n = 4 માટે binomial નું સ્તંભનું મેનુ દોરો, પછી 20, પછી 100: સ્તંભ ઓગળીને લીસા, સમમિત ઘંટમાં ફેરવાય છે. મોટા n માટે, binomial ને normal થી અંદાજાય છે: એક ઊંડી ભાતનો પહેલો સંકેત (ઘણી નાની તકોની સરેરાશ normal બની જાય છે) જે બે પાઠ પછી કેન્દ્રીય સીમા પ્રમેય બને છે. આગલો bell curve નો પાઠ તમને એની કામની માપપટ્ટી આપે છે: 68-95-99.7 નો નિયમ.
Summary
Key takeaways
- Distribution દરેક શક્ય મૂલ્યને એની સંભાવના સાથે યાદી કરે છે; સંભાવનાનો સરવાળો 1 થાય છે.
- Binomial: અચળ p વાળા n સ્વતંત્ર બે-પરિણામી પ્રયાસમાં સફળતા ગણે છે.
- P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ; સરેરાશ np, વિચરણ np(1-p).
- Normal: સળંગ સમમિત ઘંટ; પ્રાચલ μ (કેન્દ્ર) અને σ (પહોળાઈ); સરેરાશ = મધ્યસ્થ = બહુલક.
- સળંગ variables: ચોક્કસ મૂલ્યોની P = 0; સંભાવના હદ પરના ક્ષેત્રફળમાં વસે છે.
- મોટા n વાળાં binomials normal જેવાં દેખાય છે: CLT ની ઝલક.
- Memory hook: તકોનું મેનુ: કિંમતવાળી વાનગીઓ સામે કિંમતવાળી હદો.