Theory
"કદાચ" માટેની સંખ્યા
CampusPulse ના survey માંથી: survey કરાયેલા 60 માંથી 24 students છાત્રાલયવાસી છે. આચાર્ય ઢગલામાંથી આંખ બંધ કરીને એક ભરેલું form ઉપાડે છે. એ છાત્રાલયવાસીનું હોવાની શક્યતા કેટલી?
તમારી સહજ સમજ પહેલેથી ગણગણે છે "અડધાથી થોડું ઓછું". આંકડાશાસ્ત્ર એ ગણગણાટને સંખ્યામાં ચઢાવે છે: 24/60 = 0.4.
સંભાવના એ "કદાચ" નું ગણિત છે: અનિશ્ચિતતા માટે 0 થી 1 નો પટ, અને એ ભાષા જે અહીંથી આગળ આ વિષયનું દરેક distribution, નમૂનો અને bell curve બોલે છે.
Theory
એક ન્યાયી લોટરીનો ડબ્બો
શાસ્ત્રીય સંભાવનાનો દરેક પ્રશ્ન ગુપ્ત રીતે એક લોટરીનો ડબ્બો છે: બધાં શક્ય પરિણામ સરખી ચિઠ્ઠીઓ પર લખેલાં, ડબ્બો ફેરવાયો, એક ચિઠ્ઠી આંખ બંધ કરીને ખેંચાઈ.
P(ઘટના) = તમે જેની ઉજવણી કરો એવી ચિઠ્ઠીઓ ÷ ડબ્બામાંની ચિઠ્ઠીઓ.
પાસો એ 6 ચિઠ્ઠીનો ડબ્બો છે (3 બેકી ચિઠ્ઠી: P = 3/6). પત્તાંની જોડ એ 52 ચિઠ્ઠીનો ડબ્બો છે (4 રાજા: P = 4/52). Survey નો ઢગલો એ 60 ચિઠ્ઠીનો ડબ્બો છે (24 છાત્રાલયની ચિઠ્ઠી: P = 0.4). સરખી ચિઠ્ઠીઓ એ ઝીણી શરત છે: ડબ્બો ન્યાયી હોવો જોઈએ.
Theory
શબ્દભંડોળ, ઔપચારિક રીતે
- પ્રયોગ: અનિશ્ચિત પરિણામવાળી ફરી કરી શકાય એવી પ્રક્રિયા (સિક્કો ઉછાળવો, form ખેંચવું).
- નિદર્શાવકાશ S: બધાં શક્ય પરિણામ: પાસા માટે, {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- ઘટના: તમને રસ હોય એ ઉપસમૂહ: "બેકી સંખ્યા" = {2, 4, 6}.
શાસ્ત્રીય સંભાવના (સરખી શક્યતાવાળાં પરિણામ):
P(E) = અનુકૂળ પરિણામ ÷ કુલ પરિણામ
હંમેશા 0 ≤ P ≤ 1: 0 = અશક્ય, 1 = ચોક્કસ, અને બધાં પરિણામોની સંભાવનાનો સરવાળો 1 થાય. (જ્યારે પરિણામો સરખી શક્યતાવાળાં નથી, ત્યારે સંભાવના એને બદલે જોવાયેલા data માંથી આવે છે: પ્રયોગમૂલક અભિગમ: સાપેક્ષ આવૃત્તિ.)
Theory
ત્રણ નિયમો જ ભારે કામ કરે છે
પૂરક: P(E નહીં) = 1 - P(E). P(છગ્ગો નહીં) = 1 - 1/6 = 5/6.
સરવાળો: P(A કે B) = P(A) + P(B) - P(A અને B). બાદબાકી ઓવરલેપને બે વાર ગણાતો અટકાવે છે; પરસ્પર બાકાત ઘટનાઓ માટે (સાથે ન બની શકે) ઓવરલેપ 0 છે.
ગુણાકાર (સ્વતંત્ર ઘટનાઓ): P(A અને B) = P(A) × P(B), જ્યારે એક પરિણામ બીજા વિશે કશું કહેતું નથી: બે સિક્કા, P(બે છાપ) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
Think first
ઓવરલેપ હાથે ગણો
52 પત્તાંની જોડમાંથી એક પત્તું. કાગળ પર P(રાજા કે લાલપાન) ગણો, સરવાળાનો નિયમ વાપરીને: રાજા ગણો, લાલપાન ગણો, ઓવરલેપ ગણો. પછી tap કરો.
Show the answer
P(રાજા) = 4/52. P(લાલપાન) = 13/52. ઓવરલેપ: લાલપાનનો રાજા, બંનેમાં ગણાયો: 1/52.
P(રાજા કે લાલપાન) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13.
સીધી ગણતરીથી ખાતરી: 13 લાલપાન વત્તા 3 લાલપાન સિવાયના રાજા = 16 અનુકૂળ ચિઠ્ઠી. બાદબાકી ભૂલવાથી 17/52 મળે છે: સરવાળાના નિયમની સૌથી સામાન્ય એક ભૂલ, અને બરાબર એ જ ફાંદો જે આગલો quiz મૂકે છે.
Quiz
Survey માં, 60 માંથી 24 છાત્રાલયવાસી છે અને 60 માંથી 30 વર્ષ 2 માં છે; 12 students **બંને** છે. P(છાત્રાલયવાસી કે વર્ષ 2) = ?
- (24 + 30 - 12)/60 = 42/60 = 0.7
- (24 + 30)/60 = 54/60 = 0.9
- 24/60 × 30/60 = 0.2
- 12/60 = 0.2
Show the answer
(24 + 30 - 12)/60 = 42/60 = 0.7
જે 12 બંને છે એ 24 + 30 માં બે વાર ગણાત, એટલે સરવાળાનો નિયમ એમને એક વાર બાદ કરે છે: 42/60 = 0.7. વિકલ્પ B એ બેવડી ગણતરી છે. વિકલ્પ C ગુણાકાર કરે છે, જે જુદા પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે (એક AND, અને એ પણ ફક્ત સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, જે આ નથી: 12/60 ≠ 0.4 × 0.5). વિકલ્પ D ફક્ત ઓવરલેપ જણાવે છે. 'કે' ના પ્રશ્નો = સરવાળો કરો અને ઓવરલેપ બાદ કરો, દર વખતે.
Watch out
સંભાવનાનાં ત્રણ પાપ
નકલી 50-50: "કાં તો વરસાદ પડશે કાં નહીં, એટલે P = 1/2": શાસ્ત્રીય સૂત્ર માટે પરિણામો સરખી શક્યતાવાળાં હોવાં જોઈએ; વરસાદ ન્યાયી સિક્કો નથી.
જુગારીની ભ્રમણા: સળંગ પાંચ છાપ આવવાથી કાંટો "બાકી" થતો નથી: સ્વતંત્ર ઉછાળને યાદશક્તિ નથી: છઠ્ઠો હજી 1/2 જ છે.
અશક્ય સંખ્યાઓ: 0 થી નીચે કે 1 થી ઉપરની કોઈ પણ સંભાવના એટલે ગણિતની ભૂલ: અટકો અને ફરી તપાસો, મફત marks બચ્યા.
Theory
આ એકમને હમણાં સંભાવના કેમ જોઈતી હતી
આગળનું બધું વેશ પહેરેલી સંભાવના છે: Distribution (આગલો પાઠ) એટલે ખાલી દરેક પરિણામ એની સંભાવના સાથે યાદી કરેલું; નમૂનો લેવો પૂછે છે કે તમારી 60 students ની ચમચી તમને ગેરમાર્ગે દોરે એની સંભાવના કેટલી; bell curve ઊંચાઈની હદોને સંભાવના આપે છે. Grishu નું પોતાનું quiz નું વિશ્લેષણ પણ પૂછે છે "જે student આ પ્રશ્ન ચૂક્યો એ પરીક્ષામાં નાપાસ થવાની સંભાવના શું છે?". આજે શીખેલો 0 થી 1 નો પટ એ વિષયનું ચલણ છે.
Summary
Key takeaways
- પ્રયોગ → નિદર્શાવકાશ (બધાં પરિણામ) → ઘટના (તમને રસ હોય એ ઉપસમૂહ).
- શાસ્ત્રીય નિયમ: P = અનુકૂળ/કુલ, ફક્ત સરખી શક્યતાવાળાં પરિણામ માટે; પટ 0 થી 1, કુલ 1.
- પૂરક: P(E નહીં) = 1 - P(E).
- સરવાળો: P(A કે B) = P(A) + P(B) - P(A અને B); પરસ્પર બાકાત ઘટનાઓ માટે ઓવરલેપ = 0.
- સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે ગુણાકાર: P(A અને B) = P(A) × P(B); ઉછાળને યાદશક્તિ નથી.
- સરખી શક્યતા નથી? જોવાયેલી સાપેક્ષ આવૃત્તિ વાપરો (પ્રયોગમૂલક સંભાવના).
- Memory hook: ન્યાયી લોટરીનો ડબ્બો: ઉજવણીની ચિઠ્ઠીઓ ભાગ્યા કુલ ચિઠ્ઠીઓ.