Theory
Matrix માં division ની ચાવી નથી હોતી
જો 3x = 12 હોય, તો તમે 3 વડે divide કરો અને x = 4 મળી જાય.
હવે એનું matrix version જુઓ: A·X = B, જ્યાં A અને B ખબર છે એવી matrix છે અને X unknown છે. તમને એમ થાય કે "A વડે divide કરી નાખું", પણ ધ્યાનમાં રાખો, matrix division જેવું કંઈ exist જ નથી. Grid ને divide કરવા માટે કોઈ ÷ હોતું જ નથી.
એટલે mathematicians એ એનાથી નજીકનો રસ્તો બનાવ્યો: એવી એક matrix જે A ને undo કરી નાખે. એની સાથે multiply કરો, અને A ની અસર cancel થઈ જાય.
Theory
Undo button
3 વડે divide કરવું એટલે ખરેખર ⅓ સાથે multiply કરવું, કારણ કે 3 × ⅓ = 1. Inverse matrix પણ એ જ ⅓ વાળો role ભજવે છે: A ને A⁻¹ સાથે multiply કરો એટલે તમને 1 નું matrix version મળે, જેને identity matrix I કહે છે, જેમાં diagonal પર 1 હોય અને બાકી બધે 0. I સાથે કંઈ પણ multiply કરો તો કંઈ બદલાય નહીં, બરાબર જેમ number ને 1 વડે multiply કરવાથી કંઈ ફરક ના પડે.
Theory
Inverse ની formal વ્યાખ્યા
કોઈ square matrix A માટે, એની inverse A⁻¹ એ એવી matrix છે જેમાં:
A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I
આ inverse ત્યારે જ existत્વ ધરાવે જ્યારે A નો determinant zero ના હોય. 2×2 માટે:
A = ⎡ a b ⎤ |A| = ad - bc
⎣ c d ⎦
જો |A| ≠ 0 હોય, તો A non-singular કહેવાય અને એની inverse હોય. જો |A| = 0 હોય, તો A singular કહેવાય: inverse જ ના હોય, વાત પૂરી.
Quiz
જે matrix ની rows (3 1) અને (5 2) છે, એનો determinant શું છે?
- 1
- 11
- -1
- 6
Show the answer
1
ad - bc = 3·2 - 1·5 = 6 - 5 = 1. જો તમને 11 આવ્યું હોય તો તમે ad + bc એમ ઉમેરી દીધું, અને આ જ સૌથી common ભૂલ છે. એ subtraction છે, addition નહીં.
Follow along
2×2 inverse ની recipe
- |A| = ad - bc કાઢો એક જ subtraction. હંમેશા સૌથી પહેલા આ કરો.
- જો |A| = 0 હોય, તો અહીં જ અટકી જાઓ A singular છે: inverse exist જ નથી. બીજું કંઈ પણ લખશો તો marks ગુમાવશો.
- Main diagonal swap કરો a અને d ની જગ્યા બદલી નાખો.
- બાકીના 2 ના sign બદલો b નું -b થાય, c નું -c થાય. જગ્યા એની એ જ રહે, ફક્ત sign બદલાય.
- દરેક entry ને |A| વડે divide કરો આ જ step બધા ભૂલી જાય છે. Answer એટલે આખી matrix ને determinant વડે divide કરેલી.
Theory
Solved example, professor ના check સાથે
A = ⎡ 3 1 ⎤ અને |A| = 3·2 - 1·5 = 1.
⎣ 5 2 ⎦
3 અને 2 ને swap કરો, 1 અને 5 ના sign બદલો, અને 1 વડે divide કરો:
A⁻¹ = ⎡ 2 -1 ⎤
⎣ -5 3 ⎦
હવે verify કરો, row ને column માં multiply કરીને: 3·2 + 1·(-5) = 1, 3·(-1) + 1·3 = 0, 5·2 + 2·(-5) = 0, 5·(-1) + 2·3 = 1. બરાબર I જ આવ્યું. 30 સેકન્ડ ની multiplication "સાચું હશે તો સારું" ને "સાચું જ છે" માં ફેરવી નાખે છે.
Think first
હવે તમારો વારો
B = ⎡ 2 1 ⎤
⎣ 7 4 ⎦
B⁻¹ કાગળ પર કાઢો: પહેલા determinant, પછી swap, sign, divide.
Show the answer
|B| = 2·4 - 1·7 = 1. 2 અને 4 ને swap કરો, 1 અને 7 ના sign બદલો, 1 વડે divide કરો:
B⁻¹ = ⎡ 4 -1 ⎤
⎣ -7 2 ⎦
જો તમારા answer માં 2 અને 4 ના sign બદલાયા હોય, તો તમે ખોટી diagonal ને flip કરી છે: main diagonal swap થાય, બીજી diagonal નો sign બદલાય.
Quiz
આમાંથી કઈ matrix ને inverse નથી હોતી?
- Rows (2 4) અને (1 2)
- Rows (1 0) અને (0 1)
- Rows (3 1) અને (5 2)
- Rows (0 1) અને (1 0)
Show the answer
Rows (2 4) અને (1 2)
એનો determinant 2·2 - 4·1 = 0 છે, એટલે એ singular છે: inverse ના હોય. Identity (option B) તો પોતાની જ inverse છે, અને option D નો determinant -1 છે, જે વાંધો નથી: negative determinant વાળી matrix ને પણ inverse હોય જ, ફક્ત zero જ inverse ને મારી નાખે.
Watch out
Marks ખાઈ જતી 3 ભૂલો
|A| વડે divide કરવાનું ભૂલી જવું: matrix સાચી હોય પણ દરેક entry ખોટા scale પર આવે. ખોટી diagonal flip કરવી: a અને d જગ્યા બદલે, b અને c sign બદલે, બંને ક્યારેય નહીં. |A| = 0 ને ignore કરવું: જો determinant zero હોય, તો એક જ સાચો answer છે, "A is singular, the inverse does not exist", અને એ જ વાક્ય marks અપાવે છે.
Formula
Exam recipe
"find the inverse of A" પૂછે ત્યારે: પહેલા |A| = ad - bc લખો. જો zero હોય, તો "singular, no inverse" લખો. નહીંતર swap, sign, divide apply કરો, પછી margin માં A·A⁻¹ multiply કરીને confirm કરો કે I જ મળે છે. આ જ layout ને examiner full marks આપે છે.
Summary
Key takeaways
- I (diagonal પર 1, બાકી બધે 0) એ 1 નું matrix version છે.
- A⁻¹ એ A ને undo કરે: AA⁻¹ = A⁻¹A = I.
- Inverse ત્યારે જ હોય જ્યારે |A| = ad - bc zero ના હોય (non-singular).
- 2×2 recipe: a અને d swap કરો, b અને c ના sign બદલો, બધું |A| વડે divide કરો.
- હંમેશા verify કરો: પાછું multiply કરીને જુઓ કે I મળે છે કે નહીં.
- યાદ રાખવાની ચાવી: swap, sign, divide.