Theory
તમે રોજ matrices વાપરો છો
તમારા phone ની screen એ pixels ની એક grid જ છે, કંઈક એવું 1080 columns × 2400 rows. તમારી class ની marksheet પણ એક grid છે: દરેક student માટે એક row, અને દરેક subject માટે એક column. તમારો Instagram feed નો layout, chessboard, Excel sheet, આ બધું grids જ છે.
Mathematics માં numbers ની આવી grid ને matrix કહે છે. આ topic તમને એ એક વસ્તુ શીખવે છે જેના પર બાકી બધું ઊભું છે: matrix ની size કઈ રીતે describe કરવી.
Theory
Matrix એ spreadsheet જેવું જ છે
એક નાનું Excel sheet મનમાં કલ્પો. Rows આડા જાય, columns ઊભા ઊભા રહે, અને દરેક cell માં એક number હોય. હવે કોઈ પૂછે "આ sheet કેટલી મોટી છે?", તો તમે સહજ રીતે કહેશો "3 rows અને 4 columns". બસ, તમે matrix ની order કહી દીધી!
Theory
Order m×n, rows પહેલા
જે matrix માં m rows અને n columns હોય, એની order m×n હોય, જેને "m by n" એમ વાંચીએ. Rows હંમેશા પહેલા આવે.
A = ⎡ 1 2 3 ⎤
⎣ 4 5 6 ⎦
A માં 2 rows અને 3 columns છે, એટલે એની order 2×3 થઈ. અને દરેક row માં n entries હોય, એટલે m×n matrix માં કુલ m·n elements હોય, અહીં 2·3 = 6.
Quiz
Matrix B ના rows છે (7 8), (9 10), (11 12). એની order શું છે?
- 2×3
- 3×2
- 6×1
- 3×3
Show the answer
3×2
પહેલા rows ગણો: અહીં 3 rows છે, અને દરેકમાં 2 entries, એટલે B એ 3×2 થઈ. જો તમે 2×3 select કર્યું હોય તો તમે rows અને columns ઊલટા કરી નાખ્યા, અને matrix માં આ સૌથી common ભૂલ છે. Rows પહેલા, હંમેશા.
Theory
એક element શોધવો: aᵢⱼ
દરેક entry ને એક address હોય છે: aᵢⱼ એટલે row i, column j વાળી entry. બરાબર cinema ની ticket જેવું: પહેલા row, પછી seat.
ઉપરના matrix A માટે:
- a₁₂ = 2 (row 1, column 2)
- a₂₁ = 4 (row 2, column 1)
હવે ધ્યાન આપો, a₁₂ અને a₂₁ બંને અલગ entries છે. એટલે એ 2 નાના numbers નો order બહુ મહત્ત્વનો છે.
Think first
એ જ matrix A, rows (1 2 3) અને (4 5 6).
Grid માં પાછું જોયા વગર કહો, a₂₃ કેટલું છે?
Show the answer
Row 2 એ (4 5 6) છે. એની 3જી entry એ 6 છે, એટલે a₂₃ = 6.
જો તમે 3 કહ્યું હોય, તો તમે ભૂલથી row 1 વાંચી લીધી. પહેલો index row પસંદ કરે, બીજો index column પસંદ કરે, cinema ની ticket વાળો order.
Quiz
એક matrix માં 12 elements છે. આમાંથી કઈ order એના માટે શક્ય નથી?
- 3×4
- 2×6
- 12×1
- 5×2
Show the answer
5×2
Elements ની count એટલે rows × columns. 3·4, 2·6 અને 12·1 એ બધા 12 આપે છે, પણ 5·2 = 10 થાય. Exam માં આ બહુ પુછાય છે: "a matrix has 12 elements, list all possible orders", એટલે એનો સાદો અર્થ છે 12 ના factor pairs લખી નાખો.
Watch out
Marks ગુમાવી નાખતી ભૂલ
2×3 અને 3×2 એ અલગ matrices છે, અલગ shapes સાથે. Order ઊલટી લખવાથી સહેલા marks જતા રહે, અને આગળ જતાં તો બધું જ ખોરવાઈ જાય: matrix addition અને multiplication ના rules આખા order પર જ બનેલા છે. અત્યારે જ મગજમાં બેસાડી દો: Rows પહેલા, પછી Columns, RC car યાદ રાખો.
Theory
આ ફરી ક્યાં મળશે
દરેક image filter pixel matrices ને multiply કરે છે. Data structures માં graphs ને adjacency matrices તરીકે store કરાય છે. Machine learning તો મોટા ભાગે giant matrix multiplication જ છે. અને તમારા આગળના topics, matrix operations, inverse અને Cramer's rule, બધામાં કંઈ કરતાં પહેલા order check કરવાથી જ શરૂ થાય છે.
Summary
Key takeaways
- Matrix એ numbers ની rectangular grid છે, જે rows અને columns માં ગોઠવેલી હોય છે.
- Order એટલે m×n: m rows, n columns, rows હંમેશા પહેલા.
- m×n matrix માં m·n elements હોય; k elements માટે શક્ય orders એ k ના factor pairs છે.
- aᵢⱼ એ row i, column j વાળી entry છે, cinema ticket જેવું: પહેલા row, પછી seat.
- યાદ રાખવાની trick: RC car, Rows પછી Columns.