Theory
આ કામ તમે equations માં તો કરતા જ આવ્યા છો
આ 2 મનમાં જ solve કરો: x + y = 5 અને 2x + 2y = 10.
તમે probably બીજા equation ને અડધું કરી નાખ્યું હશે, જોયું કે એ તો પહેલું જ equation છે, અને આગળ વધી ગયા. Equation ને અડધું કરવું, કયું પહેલા લખવું એની અદલાબદલી કરવી, એકને બીજામાં ઉમેરવું: આવી રમત તમે વારંવાર કરો છો, અને જવાબ ક્યારેય બદલાતો નથી.
Matrices માં પણ બરાબર આ જ રમત allowed છે. અહીં આ moves ના નામ છે, અને exam માં આ moves બહુ પુછાય છે.
Theory
Marksheet ને shuffle કરવી
એક class ની marksheet લો. 2 students ની rows ની અદલાબદલી કરો: data એ જ, order નવો. કોઈ એક subject ના marks out-of-50 માંથી out-of-100 માં convert કરવા હોય તો એ column ને doubling કરો: performance એ જ, scale નવો. Class વિશે સાચી કોઈ વાત બદલાઈ નહીં. Transformations matrix ને ગોઠવે છે, પણ એ શું કહે છે એ બગાડતા નથી.
Theory
3 legal moves
Rows માટે (columns પણ એ જ રીતે કામ કરે, ફક્ત R ને બદલે C):
- Swap: Rᵢ ↔ Rⱼ, 2 rows જગ્યા બદલી લે.
- Scale: Rᵢ → kRᵢ, એક row ના દરેક entry ને એક constant k વડે multiply કરો, અને k એ 0 ન હોવો જોઈએ.
- Add a multiple: Rᵢ → Rᵢ + kRⱼ, બીજી row નું k ગણું આ row માં ઉમેરો.
બસ, આખું list આટલું જ છે. આ સિવાયનો કોઈ પણ move illegal છે.
At a glance
ફક્ત આ 3 જ legal moves
| Move | Row form | Column form |
|---|---|---|
| 2 lines ની અદલાબદલી | R₁ ↔ R₂ | C₁ ↔ C₂ |
| એક line ને k વડે scale (k ≠ 0) | R₁ → 3R₁ | C₁ → 3C₁ |
| બીજીનું multiple ઉમેરવું | R₂ → R₂ + 2R₁ | C₂ → C₂ + 2C₁ |
Theory
Worked example: target છે zeros બનાવવાનું
આખી રમત મોટા ભાગે zeros બનાવવાની જ હોય છે. A લો:
A = ⎡ 2 4 ⎤
⎣ 1 3 ⎦
Step 1: R₁ ↔ R₂, 1 ને ઉપર લાવો (leading number નાનો હોય તો પછીનું step સાફ થાય):
⎡ 1 3 ⎤
⎣ 2 4 ⎦
Step 2: R₂ → R₂ - 2R₁, નીચેના 2 ને ખતમ કરવા: 2 - 2·1 = 0 અને 4 - 2·3 = -2:
⎡ 1 3 ⎤
⎣ 0 -2 ⎦
એક zero બની ગયો, બરાબર જ્યાં આપણને જોઈતું હતું ત્યાં.
Think first
હવે તમારો વારો
B = ⎡ 1 2 ⎤
⎣ 3 8 ⎦
R₂ → R₂ - 3R₁ મનમાં જ apply કરો. B શું બની જશે?
Show the answer
Row 2 પર entry by entry કામ કરો: 3 - 3·1 = 0 અને 8 - 3·2 = 2.
⎡ 1 2 ⎤
⎣ 0 2 ⎦
Row 1 બદલાતી નથી: move એ ફક્ત arrow ની ડાબી બાજુ જે row નું નામ છે એને જ ફરી લખે છે.
Quiz
rows (5 7) અને (6 9) વાળા matrix પર C₁ ↔ C₂ apply કરો. શું મળશે?
- Rows (7 5) અને (9 6)
- Rows (6 9) અને (5 7)
- Rows (5 6) અને (7 9)
- Rows (9 7) અને (6 5)
Show the answer
Rows (7 5) અને (9 6)
Columns ઊભા (up and down) હોય છે, એટલે C₁ ↔ C₂ 2 vertical lines ની અદલાબદલી કરે છે: (5,6) અને (7,9) જગ્યા બદલી લે, એટલે rows બને (7 5) અને (9 6). Option B એ તો ROW swap છે, અને option C એ transpose છે, બંને classic ભૂલો છે.
Watch out
અહીં marks ગળી જાય છે
3 ટેવો છે જે marks ખાઈ જાય: row ના અમુક entries જ transform કરવા (move એ દરેક entry પર લાગે છે), k = 0 વડે scale કરવું (એ તો આખી row ની information ભૂંસી નાખે, એટલે એ allowed નથી), અને એક જ step માં 2 rows બદલવી (R₂ → R₂ + kR₁ ફક્ત row 2 ને ફરી લખે છે, row 1 જેમની તેમ રહે). દરેક step ની બાજુમાં move નું નામ લખો, examiners એ ખાસ જુએ છે.
Theory
આ 3 moves કેમ મહત્વના છે
આ moves એ જ Gauss elimination છે, જે method computers હજારો equations વાળા systems solve કરવા વાપરે છે. તમારો આગળનો topic, inverse કાઢવો, એ આખેઆખો row transformations થી જ થઈ શકે છે. અને હમણાં તમે practice કરી એ "zeros બનાવવાની" ટેવ, એ જ બંનેનું હૃદય છે.
Summary
Key takeaways
- Row અને column transformations matrix ને એની information બગાડ્યા વગર ગોઠવે છે.
- ફક્ત 3 moves legal છે: swap (Rᵢ ↔ Rⱼ), nonzero k વડે scale (Rᵢ → kRᵢ), add a multiple (Rᵢ → Rᵢ + kRⱼ).
- Columns એ જ moves C notation સાથે વાપરે છે.
- દરેક move ફક્ત એક જ line ને ફરી લખે, અને એની હંમેશા દરેક entry ને.
- સામાન્ય રીતે ધ્યેય zeros બનાવવાનું હોય છે, જે Gauss elimination અને inverses નું engine છે.
- યાદ રાખવાની ટ્રિક: swap, scale, add a multiple, બીજું કંઈ નહીં.