Theory
કેન્ટીન ના બિલ નો કોયડો
2 friends Rupa ના counter પરથી પાછા આવે છે.
"2 samosa અને 3 tea ના મને ₹39 થયા."
"1 samosa અને 2 tea ના મને ₹23 થયા."
હવે એક samosa નો ભાવ કેટલો? તમે substitution કરીને rearrange કરી શકો, પણ exam ના tension માં વચ્ચે ક્યાંક એકાદ sign આમતેમ થઈ જાય. એક એવો રસ્તો પણ છે જે ખાલી 4 નાની lines માં પતી જાય, કંઈ rearrange કરવાનું નહીં, અને એ આખો determinants પર ચાલે છે. આ રસ્તો Gabriel Cramer એ 1750 માં શોધ્યો હતો.
Theory
Constants ને જગ્યાએ મૂકી દો
System ને columns માં લખો: એક x column, એક y column, અને answers નું column. Cramer ની trick આ છે: x કાઢવું હોય તો coefficient વાળી grid લો અને answers column ને x ની ખુરશી પર બેસાડી દો. y કાઢવું હોય તો એને y ની ખુરશી પર બેસાડો. દરેક swap થી નવો determinant બને, અને એમના ratio તમને unknowns આપી દે.
Theory
હવે rule, formally
System માટે a₁x + b₁y = c₁ અને a₂x + b₂y = c₂:
D = | a₁ b₁ | Dx = | c₁ b₁ | Dy = | a₁ c₁ |
| a₂ b₂ | | c₂ b₂ | | a₂ c₂ |
પછી, D ≠ 0 હોય તો જ:
x = Dx / D અને y = Dy / D
Dx એટલે D જ, પણ x column ની જગ્યાએ constants મૂકેલા; Dy માં y column ની જગ્યાએ constants.
Follow along
Cramer 5 steps માં
- Coefficients પરથી D લખો અને evaluate કરો 2×2 determinant: ad - bc.
- Check કરો કે D ≠ 0 છે કે નહીં જો D = 0 હોય તો unique solution જ નથી અને Cramer's rule વાપરી શકાય નહીં. એટલું લખી દો અને ત્યાં જ અટકી જાઓ.
- Dx બનાવો: x column માં constants મૂકો y column ને હાથ પણ ન લગાડવો.
- Dy બનાવો: y column માં constants મૂકો x column ને હાથ પણ ન લગાડવો.
- Divide કરો: x = Dx/D, y = Dy/D પછી x અને y ને પાછા કોઈ એક original equation માં મૂકીને check કરી લો.
Theory
Solve કરેલો દાખલો: કેન્ટીન ના ભાવ
System: 2x + 3y = 39 અને x + 2y = 23 (x = samosa, y = tea).
D = | 2 3 | = 2·2 - 3·1 = 1
| 1 2 |
Dx = | 39 3 | = 39·2 - 3·23 = 78 - 69 = 9
| 23 2 |
Dy = | 2 39 | = 2·23 - 39·1 = 46 - 39 = 7
| 1 23 |
એટલે x = 9/1 = ₹9 એક samosa ના, અને y = 7/1 = ₹7 એક tea ના. Check કરો: 2·9 + 3·7 = 39. બરાબર.
Think first
હવે તમારો વારો
Cramer's rule વાપરીને paper પર solve કરો:
x + y = 5
x - y = 1
Show the answer
D = | 1 1 | = -1 - 1 = -2
| 1 -1 |
Dx માં x column ની જગ્યાએ (5, 1) મૂકો: 5·(-1) - 1·1 = -6, એટલે x = -6/-2 = 3.
Dy માં y column ની જગ્યાએ મૂકો: 1·1 - 5·1 = -4, એટલે y = -4/-2 = 2.
Check: 3 + 2 = 5 અને 3 - 2 = 1. વચ્ચે negative determinants આવે એ એકદમ normal છે, division વખતે એ બધું આપોઆપ સાફ થઈ જાય છે.
Quiz
Cramer's rule ક્યારે વાપરી ન શકાય...
- D = 0 હોય ત્યારે
- constants c₁, c₂ zero હોય ત્યારે
- solution negative આવે ત્યારે
- coefficients fraction હોય ત્યારે
Show the answer
D = 0 હોય ત્યારે
x = Dx/D માં D વડે ભાગવાનું આવે છે, અને zero વડે ભાગવું એ meaningless છે: D = 0 એ signal આપે છે કે lines parallel છે અથવા સાવ same છે, એટલે unique solution જ નથી. Constants zero હોય તો વાંધો નહીં (answer કદાચ 0 આવે એટલું જ), અને negative કે fraction થી rule ને કંઈ ફેર પડતો નથી.
Quiz
Dx બનાવવા માટે તમે શું replace કરો...
- x ના coefficients વાળી column ને constants થી
- પહેલી row ને constants થી
- y ના coefficients વાળી column ને constants થી
- constants ને zeros થી
Show the answer
x ના coefficients વાળી column ને constants થી
હંમેશા column જ replace કરવાની, અને એ પણ જે unknown solve કરવું છે એની column. Row replace કરી નાખવી (option B) એ exam ની classic ભૂલ છે, અને y ની column replace કરો તો Dy મળે, એટલે ખોટું unknown.
Watch out
અહીં marks ગુમાવાય છે
2×2 determinant ની અંદર sign ની ભૂલ (એ ad minus bc છે); Dx બનાવતી વખતે column ને બદલે row replace કરી નાખવી; અને છેલ્લે D વડે division કરવાનું ભૂલી જવું, અને Dx અને Dy ને જ "answer" તરીકે લખી દેવા. જો D = 0 આવે તો આગળ ધક્કા મારવાના નહીં: ખાલી લખો "D = 0, no unique solution, Cramer's rule not applicable" અને એના marks લઈ લો.
Theory
આ ફરી ક્યાં મળશે
3 unknowns પણ આ જ રીતે ચાલે, બસ 3×3 determinants સાથે, દરેક variable માટે એક column swap. Electrical engineers આનાથી circuit ના equations solve કરે છે. અને એક વાત ધ્યાનમાં લો: તમારા આગલા topic વાળા inverse ને પણ |A| ≠ 0 જોઈતું હતું. અહીં પણ એ જ gatekeeper, કારણ કે X = A⁻¹B અને Cramer's rule એ એક જ answer સુધી પહોંચવાના 2 રસ્તા છે.
Summary
Key takeaways
- Cramer's rule માત્ર determinants વાપરીને systems solve કરે છે: no substitution, no rearranging.
- D coefficients પરથી આવે; Dx અને Dy માં એ unknown ની column માં constants મૂકી દેવાના.
- x = Dx/D અને y = Dy/D, પણ ખાલી D ≠ 0 હોય ત્યારે જ valid.
- D = 0 એટલે no unique solution: એટલું લખો અને અટકી જાઓ.
- હંમેશા answer ને original equation માં પાછું મૂકીને verify કરો.
- યાદ રાખવાની trick: column replace કરો, D વડે divide કરો.