Theory
आप रोज matrices use करते हैं
आपके phone की screen देखिए, वो भी तो pixels की एक grid है, कुछ ऐसी 1080 columns × 2400 rows. आपकी class की marksheet भी एक grid ही है: एक row हर student की, और एक column हर subject का। आपका Instagram feed का layout, chessboard, Excel sheet, ये सब grids ही तो हैं।
Mathematics में numbers की इस grid को हम matrix कहते हैं। इस topic में आप वो एक चीज़ सीखेंगे जिस पर आगे का सब कुछ टिका है: matrix की size कैसे बताएँ।
Theory
Matrix एक spreadsheet की तरह है
एक छोटी सी Excel sheet सोचिए। Rows आड़ी चलती हैं, columns ऊपर से नीचे खड़ी रहती हैं, और हर cell में एक number बैठा होता है। अब कोई पूछे "ये sheet कितनी बड़ी है?" तो आप सहज ही बोलेंगे "3 rows और 4 columns"। बस, आपने अभी matrix का order बता दिया।
Theory
Order m×n, rows पहले
जिस matrix में m rows और n columns हों उसका order होता है m×n, जिसे हम पढ़ते हैं "m by n"। Rows हमेशा पहले आती हैं।
A = ⎡ 1 2 3 ⎤
⎣ 4 5 6 ⎦
A में 2 rows और 3 columns हैं, तो इसका order हुआ 2×3। और चूँकि हर row में n entries होती हैं, इसलिए एक m×n matrix में कुल m·n elements होते हैं, यहाँ 2·3 = 6.
Quiz
Matrix B की rows हैं (7 8), (9 10), (11 12). इसका order क्या है?
- 2×3
- 3×2
- 6×1
- 3×3
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3×2
पहले rows गिनिए: 3 rows हैं, और हर row में 2 entries हैं, तो B का order है 3×2। अगर आपने 2×3 चुना तो आपने rows और columns आपस में बदल दिए, और यही matrix की सबसे common गलती है। Rows पहले, हमेशा।
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एक element ढूँढना: aᵢⱼ
हर entry का एक address होता है: aᵢⱼ मतलब row i, column j पर बैठी entry। बिल्कुल cinema ticket की तरह: पहले row, फिर seat.
ऊपर वाले matrix A के लिए:
- a₁₂ = 2 (row 1, column 2)
- a₂₁ = 4 (row 2, column 1)
ध्यान दीजिए, a₁₂ और a₂₁ अलग अलग entries हैं। इन 2 छोटे numbers का order मायने रखता है।
Think first
वही matrix A, rows हैं (1 2 3) और (4 5 6).
अब grid में वापस देखे बिना बताइए, a₂₃ क्या है?
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Row 2 है (4 5 6). इसकी 3rd entry है 6, तो a₂₃ = 6.
अगर आपने 3 कहा तो आपने गलती से row 1 पढ़ ली। पहला index row चुनता है, दूसरा column, cinema ticket वाला order याद रखिए।
Quiz
एक matrix में 12 elements हैं। इनमें से कौन सा order उसके लिए possible नहीं है?
- 3×4
- 2×6
- 12×1
- 5×2
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5×2
Element count होता है rows × columns. 3·4, 2·6 और 12·1 तीनों 12 देते हैं, पर 5·2 = 10 हो जाता है। Exam में ये बहुत आता है: "a matrix has 12 elements, list all possible orders" का मतलब बस इतना है कि 12 के factor pairs लिख दीजिए।
Watch out
मार्क्स ले डूबने वाली गलती
2×3 और 3×2 दोनों अलग matrices हैं, अलग shape के। Order उल्टा लिख देना आसान मार्क्स गँवा देता है, और आगे तो पूरा खेल ही बिगाड़ देता है: matrix addition और multiplication के rules पूरी तरह order पर ही बने हैं। अभी से पक्का कर लीजिए: Rows before Columns, RC car की तरह याद रखिए।
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यह आपको फिर कहाँ मिलेगा
हर image filter pixel matrices को multiply करता है। Data structures में graphs adjacency matrices के रूप में store होते हैं। Machine learning तो ज़्यादातर बड़ी बड़ी matrix multiplication ही है। और आपके अगले topics, matrix operations, inverse और Cramer's rule, ये सब कुछ भी करने से पहले order check करने से ही शुरू होते हैं।
Summary
Key takeaways
- Matrix numbers की एक rectangular grid है जो rows और columns में arrange होती है।
- Order होता है m×n: m rows, n columns, rows हमेशा पहले।
- एक m×n matrix में m·n elements होते हैं; k elements के लिए possible orders k के factor pairs होते हैं।
- aᵢⱼ वो entry है जो row i, column j पर है, cinema ticket की तरह: पहले row, फिर seat।
- याद रखने की trick: RC car, Rows फिर Columns।