Theory
Matrices में कोई division key नहीं होती
देखिए, अगर 3x = 12 हो, तो आप 3 से divide करते हैं और x = 4 मिल जाता है।
अब यही चीज़ matrix में सोचिए: A·X = B, जहाँ A और B तो known matrices हैं और X unknown है। आपका मन करेगा कि "A से divide कर देते हैं", पर problem ये है कि matrix division होती ही नहीं। Grids के लिए कोई ÷ नहीं है।
तो mathematicians ने अगली best चीज़ बना दी: एक ऐसा matrix जो A का काम undo कर दे। उससे multiply करो, और A का effect cancel हो जाता है।
Theory
Undo button
3 से divide करना असल में ⅓ से multiply करना ही है, क्योंकि 3 × ⅓ = 1। Inverse matrix बिल्कुल उसी ⅓ का role निभाता है: A को A⁻¹ से multiply करने पर matrix वाला 1 मिलता है, जिसे identity matrix I कहते हैं, जिसमें diagonal पर 1 होते हैं और बाकी जगह 0। I से किसी को भी multiply करो, कुछ नहीं बदलता, बिल्कुल वैसे जैसे किसी number को 1 से multiply करने पर।
Theory
Inverse, formal तरीके से
किसी square matrix A के लिए inverse A⁻¹ वो matrix है जिसके साथ:
A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I
ये तभी exist करता है जब A का determinant zero न हो। 2×2 के लिए:
A = ⎡ a b ⎤ |A| = ad - bc
⎣ c d ⎦
अगर |A| ≠ 0 है, तो A non-singular है और उसका inverse होता है। और अगर |A| = 0 है, तो A singular है: कोई inverse नहीं, बस खत्म बात।
Quiz
जिस matrix की rows (3 1) और (5 2) हैं, उसका determinant क्या है?
- 1
- 11
- -1
- 6
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1
ad - bc = 3·2 - 1·5 = 6 - 5 = 1। अगर आपका जवाब 11 आया, तो आपने ad + bc जोड़ दिया, यही सबसे common determinant वाली गलती है। ये difference है, sum नहीं।
Follow along
2×2 inverse निकालने की recipe
- |A| = ad - bc निकालो एक subtraction। ये हमेशा सबसे पहले कर लो।
- अगर |A| = 0 है, तो वहीं रुक जाओ A singular है: कोई inverse नहीं। इसके अलावा कुछ भी लिखा तो marks गए।
- Main diagonal को swap करो a और d आपस में जगह बदल लेते हैं।
- बाकी 2 के sign उलट 2 b बन जाता है -b, और c बन जाता है -c। ये अपनी जगह पर ही रहते हैं, बस sign बदलता है।
- हर entry को |A| से divide करो यही वो step है जो सब भूल जाते हैं। जवाब वो पूरा matrix determinant के ऊपर है।
Theory
Solved example, एक professor की check के साथ
A = ⎡ 3 1 ⎤ और |A| = 3·2 - 1·5 = 1।
⎣ 5 2 ⎦
3 और 2 को swap करो, 1 और 5 को negate करो, 1 से divide करो:
A⁻¹ = ⎡ 2 -1 ⎤
⎣ -5 3 ⎦
अब verify करते हैं, row into column: 3·2 + 1·(-5) = 1, 3·(-1) + 1·3 = 0, 5·2 + 2·(-5) = 0, 5·(-1) + 2·3 = 1। ये तो बिल्कुल I है। बस 30 second की multiplication "शायद सही हो" को "पक्का सही है" में बदल देती है।
Think first
अब आपकी बारी
B = ⎡ 2 1 ⎤
⎣ 7 4 ⎦
B⁻¹ paper पर निकालिए: पहले determinant, फिर swap, sign, और divide।
Show the answer
|B| = 2·4 - 1·7 = 1। 2 और 4 को swap करो, 1 और 7 को negate करो, 1 से divide करो:
B⁻¹ = ⎡ 4 -1 ⎤
⎣ -7 2 ⎦
अगर आपके जवाब में 2 और 4 negate हो गए थे, तो आपने गलत diagonal उलटा: main diagonal swap होती है, और दूसरी वाली का sign बदलता है।
Quiz
इनमें से किस matrix का कोई inverse नहीं है?
- Rows (2 4) और (1 2)
- Rows (1 0) और (0 1)
- Rows (3 1) और (5 2)
- Rows (0 1) और (1 0)
Show the answer
Rows (2 4) और (1 2)
इसका determinant है 2·2 - 4·1 = 0, यानी ये singular है: कोई inverse नहीं। Identity (option B) खुद अपना inverse होता है, और option D का determinant -1 है, जो बिल्कुल ठीक है: negative determinant वाले matrices का भी inverse होता है, सिर्फ zero ही inverse को खत्म करता है।
Watch out
3 marks खाने वाली गलतियाँ
|A| से divide करना भूल जाना: matrix तो सही है, पर हर entry गलत scale में है। गलत diagonal उलटना: a और d जगह बदलते हैं, b और c sign बदलते हैं, कभी दोनों एक साथ नहीं। |A| = 0 को नज़रअंदाज़ करना: अगर determinant zero है, तो एकमात्र सही जवाब है "A is singular, the inverse does not exist", और यही sentence marks दिलाती है।
Formula
Exam recipe
"Find the inverse of A" आए तो सबसे पहले |A| = ad - bc लिखिए। अगर zero है, तो लिख दीजिए "singular, no inverse"। नहीं तो swap, sign, divide apply कीजिए, और फिर margin में A·A⁻¹ multiply करके confirm कर लीजिए कि I आ रहा है। यही layout examiner को full marks देने पर मजबूर करता है।
Summary
Key takeaways
- I (diagonal पर 1, बाकी जगह 0) matrix वाला 1 है।
- A⁻¹, A का काम undo करता है: AA⁻¹ = A⁻¹A = I।
- Inverse तभी exist करता है जब |A| = ad - bc zero न हो (non-singular)।
- 2×2 recipe: a और d को swap करो, b और c को negate करो, सबको |A| से divide करो।
- हमेशा verify करो: वापस multiply करके check करो कि I आ रहा है।
- याद रखने का trick: swap, sign, divide।