Theory
5 पर End होने वाली Numbers को Square करना
65 का square क्या है? ज़्यादातर लोग pen और paper की तरफ जाते हैं। पर 5 पर end होने वाली किसी भी number को square करने के लिए एक beautifully simple rule है, और यह sutra Ekadhikena Purvena से आता है, 'by one more than the previous one'।
यह unit की second technique है। Nikhilam की तरह, यह एक systematic shortcut है जिसे आप सीख सकते हैं, ordinary arithmetic के against check कर सकते हैं, और code कर सकते हैं। पहले की तरह, हम इसे purely उस calculation method की तरह treat करते हैं जो यह describe करता है, Bharati Krishna Tirtha की 1965 की book से, और verified examples work करते हैं।
Theory
Rule
5 पर end होने वाली एक number square करने के लिए:
1. 5 से पहले वाला part देखिए (sutra इसे 'previous' कहता है)। 65 के लिए, वह part 6 है।
2. इसे खुद से एक ज़्यादा से multiply कीजिए ('by one more than the previous one')। 6 से एक ज़्यादा 7 है, तो 6 times 7 42 है।
3. Result में 25 append कीजिए।
तो 65 squared है 42 | 25 = 4225। Last दो digits हमेशा 25 होते हैं (क्योंकि 5 पर end होने वाली एक number, squared, हमेशा 25 पर end होती है); सारा काम front part को next integer up से multiply करने का single small multiplication है।
Theory
और Examples
Rule हर बार same है।
- 25 squared: front part 2, एक more (3) times, है 2 times 3 = 6; 25 append कीजिए -> 625।
- 35 squared: 3 times 4 = 12; 25 append कीजिए -> 1225।
- 65 squared: 6 times 7 = 42; 25 append कीजिए -> 4225।
हर एक ordinary squaring के against check out होता है। एक बार आप इसे देख लें, 15, 25, 35 को square करना, सारे रास्ते तक, कुछ ऐसा बन जाता है जो आप instantly अपने head में कर सकते हैं: front को next number से multiply कीजिए, end पर 25 stick कीजिए।
Practical
Python में Ekadhikena Purvena (verified)
def square_ending_in_5(n):
# n must end in 5, e.g. 25, 35, 65
front = n // 10 # the part before the 5 (65 -> 6)
left = front * (front + 1) # 'by one more than the previous': 6 * 7 = 42
return left * 100 + 25 # append 25
print(square_ending_in_5(25)) # 625
print(square_ending_in_5(35)) # 1225
print(square_ending_in_5(65)) # 4225This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.
Quiz
Ekadhikena Purvena इस्तेमाल करते हुए, 35 squared क्या है?
- 1215, 15 append करते हुए
- 1225, क्योंकि 3 times (3+1) = 12, फिर 25 append कीजिए
- 925, क्योंकि 3 times 3 = 9, 25 append कीजिए
- 1250, क्योंकि 35 times 35 round होकर 1250 होता है
Show the answer
1225, क्योंकि 3 times (3+1) = 12, फिर 25 append कीजिए
5 से पहले वाला part लीजिए, जो 3 है, और इसे खुद से एक ज़्यादा से multiply कीजिए: 3 times 4 = 12। फिर 12 | 25 = 1225 पाने के लिए 25 append कीजिए, जो indeed 35 squared है। Option A गलती से 15 append करता है; 5 पर end होने वाली एक number के square के last दो digits हमेशा 25 होते हैं। Option C खुद से एक MORE (3 times 4) की बजाय 3 times 3 (number खुद) इस्तेमाल करता है, 'by one more than the previous' का पूरा point miss करते हुए। Option D बिना किसी basis के एक vague rounding guess है। Rule exact है: front times (front + 1), फिर 25।
Think first
'Front times One More, फिर 25' क्यों काम करता है?
Front को next integer से multiply करना और 25 append करना exact square क्यों देता है? फिर tap कीजिए।
Show the answer
क्योंकि यह (10a + 5) square करने की algebra है, जहाँ a front part है। 5 पर end होने वाली कोई भी number 10a + 5 लिखी जा सकती है (65 के लिए, a 6 है, 60 + 5 देते हुए)। इसे square कीजिए: (10a + 5) squared = 100a squared + 2(10a)(5) + 25 = 100a squared + 100a + 25 = 100 times (a squared + a) + 25 = 100 times a(a + 1) + 25। वह result पढ़िए: term a(a + 1) 'front times खुद से एक ज़्यादा' है (a = 6 के लिए, वह 6 times 7 = 42 है), और इसे 100 से multiply करना इसे hundreds में shift करता है, जबकि + 25 last दो digits को 25 fix करता है। तो 65 squared है 100 times 42 plus 25, जो 4200 + 25 = 4225 है, exactly वह '42 फिर 25' जो rule produce करता है। Append किया गया 25 एक coincidence नहीं है; यह सीधे 5 squared term से निकलता है। तो sutra एक clean algebraic identity की एक memorable packaging है, यही वजह है यह 5 पर end होने वाली numbers के लिए हमेशा काम करता है, और यही वजह है front को खुद की बजाय 'खुद से एक ज़्यादा' से multiply किया जाता है। Simple identity, elegant shortcut।
Summary
Key takeaways
- Ekadhikena Purvena ('by one more than the previous one') 5 पर end होने वाली किसी भी number को square करता है।
- 5 से पहले वाला part लीजिए, इसे खुद से एक ज़्यादा से multiply कीजिए, फिर 25 append कीजिए।
- 65 squared: 6 times 7 = 42, 25 append कीजिए -> 4225; 25 squared -> 625; 35 squared -> 1225।
- Last दो digits हमेशा 25 होते हैं, तो सिर्फ़ small front multiplication vary करता है।
- यह काम करता है क्योंकि (10a + 5) squared = 100 times a(a + 1) + 25, plain algebra।
- यह Bharati Krishna Tirtha की 1965 की book से एक technique है।
- Memory hook: front को next number से multiply कीजिए, फिर end पर 25 stick कीजिए।