Theory
एक Multiplication Shortcut
आप अपने head में 97 को 96 से कितनी जल्दी multiply कर सकते हैं? Long way fiddly है। एक technique है जो इसे almost instant बना देती है, और यह sutra Nikhilam Navatashcaramam Dashatah से आती है, usually 'all from 9 and the last from 10' translate किया जाता है।
यह unit ऐसी calculation techniques का एक set study करती है। हर एक एक shortcut है, compute करने का एक clever, systematic तरीका, और आपका syllabus आपसे हर एक सीखने, एक example work करने, और फिर इसे code में express करने के लिए कहता है। हम Nikhilam से शुरू करते हैं, 100 जैसे एक base के ठीक नीचे बैठने वाली numbers को multiply करने का एक shortcut।
Watch out
यह Unit कैसे Framed है
यहाँ study किए गए सोलह sutras 20वीं century की book 'Vedic Mathematics' (1965) by Bharati Krishna Tirtha से आते हैं। हम हर sutra को इसके encode किए गए computation technique की तरह treat करते हैं, method सिखाते हैं, एक example work करते हैं, और इसे code करते हैं। हम book से आगे कोई historical claims नहीं करते, और हम ancient Sanskrit sources या verse text invent नहीं करते। Sutras के full treatment के लिए, prescribed text consult कीजिए। यहाँ value practical है: ये neat, checkable arithmetic methods हैं जिन्हें आप program कर सकते हैं।
Theory
Nikhilam Method, Base 100 के Near
100 से ठीक नीचे दो numbers multiply करने के लिए, तीन steps follow कीजिए।
1. हर number की deficiency ढूँढिए (यह 100 से कितनी नीचे है)। 97 के लिए deficiency 3 है; 96 के लिए यह 4 है। ('all from 9 and the last from 10' phrase एक deficiency ढूँढने का quick तरीका है: हर digit को 9 से subtract कीजिए और last को 10 से।)
2. Left part: एक number की deficiency को दूसरे से subtract कीजिए। 97 minus 4, 93 है (और 96 minus 3 भी 93 है, यह दोनों तरह काम करता है)।
3. Right part: दोनों deficiencies multiply कीजिए। 3 times 4, 12 है।
इन्हें साथ रखिए: 93 | 12 = 9312। तो 97 times 96, 9312 है।
Theory
एक और Example
98 times 97, base 100 try कीजिए।
- Deficiencies: 98, 2 नीचे है, 97, 3 नीचे है।
- Left part: 98 minus 3, 95 है (या 97 minus 2, भी 95)।
- Right part: 2 times 3, 6 है, 06 की तरह लिखा जाता है base 100 को चाहिए दो digit places भरने के लिए।
Result: 95 | 06 = 9506। और indeed 98 times 97, 9506 है। नोटिस कीजिए right part को दो digits तक padded किया जाता है क्योंकि base 100 में दो zeros हैं; यह padding सही करना वह एक detail है जिसे watch करना है।
Practical
Python में Nikhilam (verified)
def nikhilam(a, b, base=100):
da = base - a # deficiency of a (e.g. 100-97 = 3)
db = base - b # deficiency of b (e.g. 100-96 = 4)
left = a - db # cross-subtraction (== b - da)
right = da * db # product of deficiencies
return left * base + right # combine: left | right
print(nikhilam(97, 96)) # 9312
print(nikhilam(98, 97)) # 9506
# left*base + right places 'right' in the base's digit slots (padding handled).This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.
Quiz
Base 100 के near Nikhilam इस्तेमाल करते हुए, 97 को 96 से multiply कीजिए। Left और right parts, और answer क्या हैं?
- Left 93, right 12, answer 9312 (deficiencies 3 और 4: 97-4=93, और 3x4=12)
- Left 93, right 7, answer 937
- Left 91, right 12, answer 9112
- Left 97, right 96, answer 9796
Show the answer
Left 93, right 12, answer 9312 (deficiencies 3 और 4: 97-4=93, और 3x4=12)
100 से 97 और 96 की deficiencies 3 और 4 हैं। Left part: cross-subtract कीजिए, 97 minus 4 93 के बराबर है (equivalently 96 minus 3 93 के बराबर है)। Right part: deficiencies multiply कीजिए, 3 times 4 12 के बराबर है। 93 | 12 = 9312 की तरह combine कीजिए, जो exactly 97 times 96 है। Option B deficiencies multiply करना भूल जाता है (3+4 या similar इस्तेमाल करते हुए) और answer mis-size करता है। Option C left part mis-subtract करता है। Option D बस original numbers लिखता है, method ignore करते हुए। Technique: deficiencies, left के लिए cross-subtract, right के लिए multiply, फिर combine, और यह ordinary multiplication के against check out होता है।
Think first
Nikhilam Method क्यों काम करता है?
यह magic जैसा दिखता है, पर यह ordinary algebra है। Cross-subtract-and-multiply सही product क्यों देता है? फिर tap कीजिए।
Show the answer
क्योंकि यह बस (base minus deficiency) multiplied out की algebra है। दोनों numbers को (B - x) और (B - y) की तरह लिखिए, जहाँ B base है (100) और x, y deficiencies हैं (3 और 4)। इन्हें algebraically multiply कीजिए: (B - x)(B - y) = B squared - Bx - By + xy = B(B - x - y) + xy। अब दोनों pieces पढ़िए। पहला piece, B times (B - x - y), base times LEFT part है, और (B - x - y), (B - x) - y के बराबर है, यानी, पहली number minus second की deficiency (97 - 4 = 93), जो exactly cross-subtraction है। दूसरा piece, xy, RIGHT part है, deficiencies का product (3 times 4 = 12)। चूँकि B 100 है, left part को B से multiply करना इसे बस hundreds place में shift करता है, और xy last दो digits भरता है, 93 फिर 12, या 9312 देते हुए। तो method बिल्कुल भी mystical नहीं है; यह (B - x)(B - y) evaluate करने का एक tidy तरीका है जो base exploit करके एक full long multiplication avoid करता है। यह समझना आपको यह भी बताता है यह WHEN help करता है: numbers एक base के जितने closer हैं, deficiencies उतनी ही smaller हैं, और arithmetic उतनी ही easier है, यही precisely वजह है Nikhilam 100 (या 1000) के near numbers के लिए shine करता है। Simple algebra की clever bookkeeping।
Summary
Key takeaways
- सोलह sutras 1965 की book 'Vedic Mathematics' by Bharati Krishna Tirtha से आते हैं; हम हर एक को एक computation technique की तरह सिखाते हैं और इसे code करते हैं।
- Nikhilam ('all from 9 and the last from 10') 100 जैसे एक base के near numbers multiply करता है।
- हर number की base से नीचे deficiency ढूँढिए (97 -> 3, 96 -> 4)।
- Left part: cross-subtract कीजिए (97 - 4 = 93, 96 - 3 के same); right part: deficiencies multiply कीजिए (3 x 4 = 12)।
- Combine कीजिए: 93 | 12 = 9312, जो 97 x 96 है; right part को base के digit count तक pad कीजिए (98 x 97 = 95 | 06 = 9506)।
- यह काम करता है क्योंकि (B - x)(B - y) = B(B - x - y) + xy, plain algebra जो base exploit करता है।
- Memory hook: deficiencies, left cross-subtract, right multiply, combine।