Theory
Whole और इसके Parts
18 को 22 से multiply कीजिए। नोटिस कीजिए ये symmetrically 20 के around बैठते हैं: एक 2 नीचे है, दूसरा 2 ऊपर है। Sutra Vyastisamanstih, 'the parts and the whole', exactly इस relationship इस्तेमाल करता है, answer जल्दी पाने के लिए whole (यहाँ, middle value 20) को parts (2 का gap) के against खेलते हुए।
यह lesson वह accessible, verifiable application सिखाता है, average और deviation के through multiply करना, Bharati Krishna Tirtha की 1965 की book से। Book parts-and-whole idea को ज़्यादा broadly इस्तेमाल करती है (factorisation सहित); उनके लिए prescribed text consult कीजिए।
Theory
Average और Deviation
जब दो numbers एक middle value के about symmetric हैं, इन्हें (m - d) और (m + d) लिखिए, जहाँ m इनका average है (whole) और d deviation है (part)।
इनका product difference of squares है: (m - d)(m + d) = m squared - d squared।
Example, 18 times 22: average m 20 है, deviation d 2 है। तो product 20 squared - 2 squared = 400 - 4 = 396 है। और 18 times 22 indeed 396 है। आपने एक two-digit multiplication को एक square से replace किया जो आप जानते हैं (400) minus एक tiny square (4)।
Theory
एक और Example
17 times 23 try कीजिए। ये 20 के about symmetric हैं: 17, 3 नीचे है, 23, 3 ऊपर है। तो m 20 है और d 3 है।
Product = m squared - d squared = 20 squared - 3 squared = 400 - 9 = 391। और 17 times 23, 391 है।
Technique तब shine करती है जब भी दो numbers एक easy middle value को straddle करते हैं: whole की तरह average pick कीजिए, part की तरह gap, और product बस whole के easy square minus part के small square है। Whole minus part, squares में।
Practical
Parts और Whole से Product (verified)
def product_symmetric(a, b):
m = (a + b) // 2 # the whole: their average
d = (b - a) // 2 # the part: the deviation from the average
return m*m - d*d # difference of squares
print(product_symmetric(18, 22)) # 396 (20^2 - 2^2)
print(product_symmetric(17, 23)) # 391 (20^2 - 3^2)This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.
Quiz
Parts-and-whole (average और deviation) method इस्तेमाल करते हुए, 18 times 22 क्या है?
- 400, क्योंकि 20 times 20
- 396, क्योंकि average 20 है और deviation 2 है, तो 20 squared - 2 squared = 400 - 4
- 404, क्योंकि 400 + 4
- 360, क्योंकि 18 times 20
Show the answer
396, क्योंकि average 20 है और deviation 2 है, तो 20 squared - 2 squared = 400 - 4
18 और 22 इनके average 20 के about symmetric हैं, 2 की deviation के साथ। Product difference of squares है: 20 squared - 2 squared = 400 - 4 = 396, जो 18 times 22 के बराबर है। Option A सिर्फ़ 20 times 20 देता है (whole का square), deviation का square subtract करना भूल जाते हुए। Option C subtract करने की बजाय add करता है; identity (m - d)(m + d) = m squared MINUS d squared है। Option D पूरी तरह एक अलग product compute करता है (18 times 20)। Method: average whole है (20), gap part है (2), product whole squared minus part squared है।
Think first
Numbers को Whole-and-Part की तरह Treat करना क्यों Help करता है?
'Average squared minus deviation squared' सिर्फ़ 18 को 22 से directly multiply करने से easier क्यों है? फिर tap कीजिए।
Show the answer
क्योंकि यह एक awkward two-digit multiplication को एक FAMILIAR square से replace करता है जो आप पहले से जानते हैं plus एक tiny subtraction, उस symmetry को exploit करते हुए जो दोनों numbers में happen होती है। 18 को 22 से directly multiply करने का मतलब है carries के साथ एक full long multiplication। पर यह recognise करना कि ये 20 के दोनों तरफ equal distance पर बैठते हैं आपको difference-of-squares identity इस्तेमाल करने देता है: इनका product 20 squared minus 2 squared है। अब 20 squared 400 है, एक fact जो आप instantly जानते हैं, और 2 squared बस 4 है, तो पूरी चीज़ 400 minus 4 = 396 बन जाती है, arithmetic जो आप अपने head में कर सकते हैं। 'Whole' (average, 20) precisely इसलिए choose किया जाता है क्योंकि यह एक easy, round anchor है जिसका square आप जानते हैं, और 'part' (deviation, 2) small है, तो इसका square trivial है। यही same theme पूरी unit के through चलता है: एक problem में convenient structure ढूँढिए, एक easy anchor और एक small adjustment, और इसे काम carry करने दीजिए, raw calculation के through grind करने की बजाय। Method सिर्फ़ तब help करता है जब numbers एक easy middle के about symmetric हों (या ऐसा बनाए जा सकें), पर वह situation common है, और इसे spot करना एक hard product को एक easy square minus एक small square में बदल देता है। Whole पर anchor कीजिए, part से correct कीजिए।
Summary
Key takeaways
- Vyastisamanstih ('the parts and the whole') whole को इसके parts के against खेलता है।
- एक middle value के about symmetric दो numbers के लिए, whole (इनका average m) और part (deviation d) इस्तेमाल कीजिए।
- इनका product difference of squares है: (m - d)(m + d) = m squared - d squared।
- 18 times 22: m = 20, d = 2, तो 400 - 4 = 396; 17 times 23: m = 20, d = 3, तो 400 - 9 = 391।
- यह numbers की symmetry इस्तेमाल करके एक awkward multiplication को एक easy square minus एक small square से replace करता है।
- Book parts-and-whole ज़्यादा broadly इस्तेमाल करती है (जैसे factorisation); prescribed text consult कीजिए।
- Memory hook: average whole है, gap part है, product whole squared minus part squared है।