Vyastisamanstih: The parts and the whole

📖 Theory

પૂર્ણ અને એના અંશ

18 ને 22 વડે ગુણો. ધ્યાન આપો કે એ બંને 20 ની આસપાસ સમમિત રીતે બેસે છે: એક 2 નીચે, બીજી 2 ઉપર. Vyastisamanstih સૂત્ર, એટલે કે 'અંશ અને પૂર્ણ', બરાબર આ જ સંબંધ વાપરે છે અને પૂર્ણ (અહીં વચ્ચેની કિંમત 20) ને અંશ (2 નું અંતર) સામે રમાડીને જવાબ ઝડપથી કાઢી આપે છે.

આ પાઠ સહેલાઈથી સમજાય અને ચકાસી શકાય એવો ઉપયોગ શીખવે છે, એટલે કે સરેરાશ અને deviation વડે ગુણાકાર, અને એ ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી છે. પુસ્તક અંશ-અને-પૂર્ણના વિચારને વધુ વ્યાપક રીતે વાપરે છે (factor પાડવા સહિત); એ માટે નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ.

📖 Theory

સરેરાશ અને deviation

જ્યારે બે સંખ્યાઓ વચ્ચેની કોઈ કિંમતની આસપાસ symmetric હોય, ત્યારે એમને (m - d) અને (m + d) તરીકે લખો, જ્યાં m એ એમની સરેરાશ (પૂર્ણ) છે અને d એ deviation (અંશ).

એમનો ગુણાકાર વર્ગનો તફાવત થાય છે: (m - d)(m + d) બરાબર m નો વર્ગ ઓછા d નો વર્ગ.

દાખલો, 18 ગુણ્યા 22: સરેરાશ m બરાબર 20, deviation d બરાબર 2. એટલે ગુણાકાર થાય 20 નો વર્ગ ઓછા 2 નો વર્ગ, એટલે કે 400 ઓછા 4 બરાબર 396. અને 18 ગુણ્યા 22 ખરેખર 396 જ છે. તમે બે અંકના ગુણાકારની જગ્યાએ તમને આવડતો વર્ગ (400) ઓછા એક નાનકડો વર્ગ (4) મૂકી દીધો.

📖 Theory

બીજો દાખલો

હવે 17 ગુણ્યા 23 કરો. એ બંને 20 ની આસપાસ symmetric છે: 17 એ 3 નીચે, 23 એ 3 ઉપર. એટલે m બરાબર 20 અને d બરાબર 3.

ગુણાકાર બરાબર m નો વર્ગ ઓછા d નો વર્ગ, એટલે 20 નો વર્ગ ઓછા 3 નો વર્ગ, એટલે કે 400 ઓછા 9 બરાબર 391. અને 17 ગુણ્યા 23 બરાબર 391 જ છે.

જ્યારે પણ બે સંખ્યાઓ કોઈ સહેલી વચલી કિંમતની બંને બાજુ પડતી હોય ત્યારે આ પદ્ધતિ ચમકે છે: સરેરાશને પૂર્ણ તરીકે લો, અંતરને અંશ તરીકે, અને ગુણાકાર એટલે ફક્ત પૂર્ણનો સહેલો વર્ગ ઓછા અંશનો નાનો વર્ગ. વર્ગમાં પૂર્ણ ઓછા અંશ.

⌨️ Practical

અંશ અને પૂર્ણ વડે ગુણાકાર (ચકાસેલું)

def product_symmetric(a, b):
    m = (a + b) // 2       # પૂર્ણ: સરેરાશ
    d = (b - a) // 2       # અંશ: સરેરાશથી deviation
    return m*m - d*d       # વર્ગનો તફાવત

print(product_symmetric(18, 22))   # 396  (20^2 - 2^2)
print(product_symmetric(17, 23))   # 391  (20^2 - 3^2)

This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.

🧩 Quiz

અંશ-અને-પૂર્ણ (સરેરાશ અને deviation) પદ્ધતિ વાપરીને 18 ગુણ્યા 22 કેટલા થાય?

1. 400, કારણ કે 20 ગુણ્યા 20 થાય
2. 396, કારણ કે સરેરાશ 20 અને deviation 2 છે, એટલે 20 નો વર્ગ ઓછા 2 નો વર્ગ બરાબર 400 ઓછા 4
3. 404, કારણ કે 400 વત્તા 4 થાય
4. 360, કારણ કે 18 ગુણ્યા 20 થાય

💭 Think first

સંખ્યાઓને પૂર્ણ અને અંશ તરીકે જોવાથી ફાયદો કેમ થાય છે?

18 ને 22 વડે સીધું ગુણવા કરતાં 'સરેરાશનો વર્ગ ઓછા deviation નો વર્ગ' કેમ સહેલું પડે છે? વિચારીને પછી tap કરો.

✅ Summary

Key takeaways

• Vyastisamanstih ('અંશ અને પૂર્ણ') પૂર્ણને એના અંશો સામે રમાડે છે.
• વચ્ચેની કિંમતની આસપાસ symmetric બે સંખ્યાઓ માટે પૂર્ણ (સરેરાશ m) અને અંશ (deviation d) વાપરો.
• એમનો ગુણાકાર વર્ગનો તફાવત થાય છે: (m - d)(m + d) બરાબર m નો વર્ગ ઓછા d નો વર્ગ.
• 18 ગુણ્યા 22: m બરાબર 20, d બરાબર 2, એટલે 400 ઓછા 4 બરાબર 396; 17 ગુણ્યા 23: m બરાબર 20, d બરાબર 3, એટલે 400 ઓછા 9 બરાબર 391.
• આ સંખ્યાઓની symmetry વાપરીને અઘરા ગુણાકારની જગ્યાએ સહેલો વર્ગ ઓછા નાનો વર્ગ મૂકે છે.
• પુસ્તક અંશ-અને-પૂર્ણને વધુ વ્યાપક રીતે વાપરે છે (જેમ કે factor પાડવા); નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ.
• યાદ રાખવાની કડી: સરેરાશ એટલે પૂર્ણ, અંતર એટલે અંશ, અને ગુણાકાર એટલે પૂર્ણનો વર્ગ ઓછા અંશનો વર્ગ.