Shunyam Saamyasamuccaye: When the sum is the same that sum is zero

📖 Theory

શૂન્યને ઓળખી કાઢતી ટૂંકી રીત

કેટલાંક સમીકરણો જોતાં એવું લાગે કે એમાં ધ્યાનપૂર્વક algebra કરવું પડશે, પણ એક વાત નજરે ચડતાં જ એ પળવારમાં ઊકલી જાય છે. Shunyam Saamyasamuccaye સૂત્ર, એટલે કે 'જ્યારે samuccaya સરખો હોય, ત્યારે એ samuccaya શૂન્ય છે', આવા જ પ્રસંગો ઓળખવા વિશે છે.

મૂળ વિચાર આટલો છે: જ્યારે કોઈ સામાન્ય પદ (samuccaya) સમીકરણમાં સંતુલિત રીતે દેખાય, ત્યારે એ પદને શૂન્ય બરાબર મૂકીને જવાબ સીધો વાંચી શકાય. આ પાઠ એક સ્પષ્ટ પ્રકાર બતાવે છે; પુસ્તકમાં આવા અનેક પ્રકાર છે, એટલે આને પ્રવેશદ્વાર ગણો અને બાકીના માટે નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ. હંમેશની જેમ આ ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી છે.

📖 Theory

સામાન્ય factor વાળો પ્રકાર

અહીં એક સ્વચ્છ અને ચકાસી શકાય એવો પ્રકાર છે. ધારો કે સમીકરણનું સ્વરૂપ આવું છે:

a ગુણ્યા (x + k) બરાબર b ગુણ્યા (x + k), જ્યાં a અને b જુદી જુદી સંખ્યાઓ છે.

બંને બાજુએ (x + k) સામાન્ય factor છે (એટલે કે samuccaya). a અને b જુદા હોવાથી બંને બાજુ સરખી થાય એનો એક જ રસ્તો છે, અને તે એ કે એ સામાન્ય factor શૂન્ય હોય. એટલે x + k = 0 મૂકતાં તરત જ x = -k મળી જાય છે.

દાખલો: 3(x + 4) = 7(x + 4). અહીં સામાન્ય factor છે (x + 4). એને શૂન્ય બરાબર મૂકો: x + 4 = 0, એટલે x = -4. ચકાસો: 3 ગુણ્યા (-4 + 4) બરાબર 3 ગુણ્યા 0 બરાબર 0, અને 7 ગુણ્યા 0 બરાબર 0, એટલે બંને બાજુ 0 છે. એક જ લીટીમાં ઉકેલ.

⌨️ Practical

Python માં સામાન્ય factor વાળો પ્રકાર (ચકાસેલું)

def solve_common_factor(k):
    # a*(x + k) = b*(x + k) માં a != b હોય, તો samuccaya (x + k) શૂન્ય જ હોવો જોઈએ.
    return -k    # x = -k

x = solve_common_factor(4)   # 3(x+4) = 7(x+4) માંથી
print(x)                      # -4

# બંને બાજુ સરખી (એટલે કે શૂન્ય) છે એ ચકાસો:
print(3 * (x + 4), 7 * (x + 4))   # 0 0

This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.

✏️ Formula

પહેલાં ભાત ઓળખો

આ સૂત્રની ખરી તાકાત ઓળખવામાં છે: algebra માં ઘસાવા બેસતાં પહેલાં સમીકરણમાં કોઈ સહિયારું પદ છે કે નહીં એ જુઓ. જો બંને બાજુ એક જ પદાવલિ જુદા જુદા constants વડે ગુણાયેલી હોય (અથવા પુસ્તકમાં આપેલી બીજી કોઈ samuccaya ભાત સાથે મળતી આવતી હોય), તો તમે સીધા એ સહિયારા પદને શૂન્ય મૂકવા સુધી કૂદી શકો છો.

આખા એકમનો આ જ વારંવાર આવતો સૂર છે: આમાંની ઘણી પદ્ધતિઓ સમસ્યામાં રહેલા માળખાને જોવા વિશે છે, જેથી યાંત્રિક મહેનત ટૂંકાવી શકાય. samuccaya ઓળખો, એને શૂન્ય મૂકો, પતી ગયું; પણ ચોક્કસ ભાત કઈ છે એની ખાતરી કરી લેજો, કારણ કે પુસ્તક એવા અનેક પ્રકાર આપે છે.

🧩 Quiz

Shunyam Saamyasamuccaye વાપરીને 3(x + 4) = 7(x + 4) ઉકેલો. x કેટલો થાય?

1. x = 4, એટલે કૌંસની અંદરની કિંમત
2. x = -4, કારણ કે સામાન્ય factor (x + 4) શૂન્ય હોવો જોઈએ, એટલે x + 4 = 0
3. x = 10, કારણ કે 3 અને 7 નો સરવાળો થાય
4. કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે 3 એ 7 બરાબર નથી

💭 Think first

અહીં સામાન્ય factor શૂન્ય જ કેમ હોવો જોઈએ?

a(x+k) = b(x+k) માં a બરાબર b ન હોય, ત્યારે (x+k) શૂન્ય હોવા પર જ કેમ મજબૂરી આવે છે? વિચારીને પછી tap કરો.

✅ Summary

Key takeaways

• Shunyam Saamyasamuccaye: સામાન્ય પદ (samuccaya) સરખી રીતે દેખાય ત્યારે એને શૂન્ય મૂકીને સમીકરણ ઉકેલો.
• સ્પષ્ટ પ્રકાર: a(x + k) = b(x + k) માં a બરાબર b ન હોય, તો સામાન્ય factor (x + k) શૂન્ય હોવો જ પડે.
• એટલે x + k = 0 થતાં સીધું x = -k મળે; દા.ત. 3(x + 4) = 7(x + 4) આપે x = -4.
• ચકાસણી: x = -4 પર બંને બાજુ 0 થઈ જાય છે, જે ઉકેલને પુષ્ટિ આપે છે.
• એ કામ કરે છે કારણ કે (a - b)(x + k) = 0 માં (a - b) શૂન્ય ન હોવાથી (x + k) શૂન્ય થવું ફરજિયાત બને છે.
• પુસ્તક samuccaya ના અનેક પ્રકાર આપે છે; આ એક છે, બાકીના માટે નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ.
• યાદ રાખવાની કડી: સહિયારું પદ ઓળખો, samuccaya ને શૂન્ય મૂકો.