Paraavartya: Transposition and cancellation

📖 Theory

સામે પાર લઈ જાઓ, ચિહ્ન બદલો

x + 7 = 10 જેવું સમીકરણ ઉકેલતી વખતે તમે '7 ને સામી બાજુ લઈ જાઓ' છો અને એ ઓછા 7 બની જાય છે, એટલે x = 10 ઓછા 7 બરાબર 3 મળે. રોજિંદી લાગતી આ ક્રિયાનું આ પદ્ધતિમાં નામ છે: Paraavartya Yojayet, એટલે કે 'ખસેડો અને સરખું કરો'.

આ સૂત્ર transposition ને બાંધી આપે છે: પદને બરાબરની નિશાનીની સામી બાજુ લઈ જવું અને સાથે એનું ચિહ્ન (અથવા એની ક્રિયા) બદલવી. સાદાં સમીકરણો ઉકેલવાનું આ મુખ્ય ઓજાર છે, અને વૈદિક ભાગાકારની રીતનો પાયો પણ એ જ છે. પહેલાંની જેમ આ ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી લીધું છે અને એ જે પદ્ધતિ વર્ણવે છે એ રીતે જ રજૂ કર્યું છે.

📖 Theory

Transposition, પગથિયે પગથિયે

નિયમ: સમીકરણની સામી બાજુ ખસેડાયેલા પદની ક્રિયા ઊલટાઈ જાય છે. જે ઉમેરાતું હતું તે બાદ થાય છે; જે બાદ થતું હતું તે ઉમેરાય છે; જે ગુણતું હતું તે ભાગે છે, અને એથી ઊલટું પણ ખરું.

2x + 3 = 11 ઉકેલો:

1. +3 નું transposition કરો: એને ઓછા 3 તરીકે સામે લઈ જાઓ. હવે 2x = 11 ઓછા 3 બરાબર 8.

2. ગુણતા 2 નું transposition કરો: એને ભાગાકાર તરીકે સામે લઈ જાઓ. હવે x = 8 ભાગ્યા 2 બરાબર 4.

ચકાસો: 2 ગુણ્યા 4 વત્તા 3 બરાબર 11. બરાબર. દરેક પગથિયે પદ સામે જતાં એની ક્રિયા ઊલટાઈને 'સરખી' થાય છે, અને 'ખસેડો અને સરખું કરો' નો અર્થ પણ બરાબર એ જ છે.

⌨️ Practical

Transposition થી ax + b = c ઉકેલવું (ચકાસેલું)

def solve_linear(a, b, c):
    # ax + b = c  ->  ax = c - b  ->  x = (c - b) / a
    # 'b નું transposition (ચિહ્ન બદલો), પછી a નું transposition (ભાગો)'
    return (c - b) / a

print(solve_linear(1, 7, 10))   # x + 7 = 10  -> 3.0
print(solve_linear(2, 3, 11))   # 2x + 3 = 11 -> 4.0
# પદ '=' ઓળંગે ત્યારે દરેક transposition એની ક્રિયા ઊલટાવે છે.

This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.

✏️ Formula

એ જ વિચાર ભાગાકાર પણ કરે છે

સમીકરણ ઉકેલવા ઉપરાંત, Paraavartya ભાગાકાર ની વૈદિક રીતનો પણ પાયો છે, ખાસ કરીને આધારથી સહેજ ઉપરની સંખ્યાઓ વડે ભાગવામાં (જેમ કે 11, 12 કે 112 વડે). ભાજકના અંકોનું 'transposition' થાય છે (એમનાં ચિહ્ન ઊલટાવાય છે) અને એમની મદદથી જવાબ અંક બ અંક નીચે ઉતારીને સરખો કરાય છે, જેથી લાંબા અજમાયશી ભાગાકારથી બચી શકાય.

અહીં આપણે સમીકરણમાં થતા transposition પર ધ્યાન આપીએ છીએ, કારણ કે એ આ વિચારનું સૌથી સ્પષ્ટ અને સૌથી ઉપયોગી સ્વરૂપ છે, અને તમે એ જ સૌથી વધુ વાપરવાના છો. પણ યાદ રાખજો કે 'ખસેડો અને સરખું કરો' એ એક જ સિદ્ધાંત છે જેના એકથી વધુ ઉપયોગ છે; ભાગાકારની આખી રીત માટે નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ.

🧩 Quiz

Transposition થી 2x + 3 = 11 ઉકેલો. x કેટલો થાય?

1. x = 7, કારણ કે 11 ઓછા 3 બરાબર 8 થાય અને ત્યાં જ અટકી જવાય
2. x = 4, કારણ કે transposition થી 2x = 11 ઓછા 3 બરાબર 8 થાય, પછી x = 8 ભાગ્યા 2 બરાબર 4
3. x = 28, કારણ કે 11 ઓછા 3 ને 2 વડે ગુણવામાં આવે
4. x = 14, કારણ કે 2 ગુણ્યા 11 ઓછા 3 થાય

💭 Think first

પદ બરાબરની નિશાની ઓળંગે ત્યારે એનું ચિહ્ન કેમ બદલાય છે?

Transposition જોતાં કોઈ યુક્તિ જેવું લાગે છે. 'ખસેડો અને ચિહ્ન ઊલટાવો' ખરેખર માન્ય કેમ છે? વિચારીને પછી tap કરો.

✅ Summary

Key takeaways

• Paraavartya Yojayet ('ખસેડો અને સરખું કરો') transposition ને બાંધી આપે છે: પદને બરાબરની નિશાની ઓળંગાવો અને એની ક્રિયા ઊલટાવો.
• ઉમેરાયેલું બાદ થાય છે, બાદ થયેલું ઉમેરાય છે; ગુણતું ભાગે છે, અને એથી ઊલટું પણ ખરું.
• 2x + 3 = 11 ઉકેલો: +3 નું transposition કરતાં 2x = 8; 2 નું transposition કરતાં x = 8 ભાગ્યા 2 બરાબર 4 (ચકાસો: 2 ગુણ્યા 4 વત્તા 3 બરાબર 11).
• Code માં: એ જ transpositions થી x = (c - b) / a એ ax + b = c ઉકેલી આપે છે.
• એ જ સિદ્ધાંત આધારની નજીકની સંખ્યાઓ માટેની વૈદિક ભાગાકાર પદ્ધતિનો પાયો છે (નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ).
• Transposition એટલા માટે કામ કરે છે કે એ બંને બાજુએ એક જ ક્રિયા કરવાનું ટૂંકું સ્વરૂપ છે, જેથી સમીકરણ સંતુલિત રહે છે.
• યાદ રાખવાની કડી: બરાબરની નિશાની ઓળંગો, ક્રિયા ઊલટાવો.