Theory
ગોળ કરો, પછી પાછું સરખું કરો
68 અને 57 મનમાં સરવાળા કરવા સહેજ અઘરા પડે છે, કારણ કે વદ્દી લેવી પડે છે. પણ 70 વત્તા 57 સહેલું છે, એ થાય 127. હવે 70 એ 68 કરતાં ફક્ત 2 વધારે છે, એટલે એ 2 પાછા બાદ કરો: 127 ઓછા 2 બરાબર 125. અને 68 વત્તા 57 એ જ થાય છે.
આ ક્રિયા, એટલે કે સંખ્યાને અનુકૂળ ગોળ કિંમત સુધી પૂરી કરવી, સહેલી ગણતરી કરવી, પછી જે ઉમેર્યું હોય એટલું સરખું કરવું, એ જ Puranapuranabhyam સૂત્ર છે, એટલે કે 'પૂર્ણ કરીને કે અધૂરું રાખીને'. આ પાઠ એનું અંકગણિતવાળું સ્વરૂપ શીખવે છે અને એના algebraic ભાઈબંધ, વર્ગ પૂરો કરવાની રીતની નોંધ લે છે. આ ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી છે.
Theory
અંકગણિતમાં પૂર્ણ કરવું
પદ્ધતિમાં ત્રણ પગથિયાં છે:
1. અઘરી સંખ્યાને નજીકની ગોળ સંખ્યા સુધી પૂરી કરો. 68 માટે 2 ઉમેરીને 70 બનાવો.
2. સહેલી ગણતરી કરો. 70 વત્તા 57 બરાબર 127.
3. જેટલું ઉમેર્યું હતું એટલું પાછું સરખું કરો. તમે 2 ઉમેર્યા હતા, એટલે 2 બાદ કરો: 127 ઓછા 2 બરાબર 125.
પરિણામ: 68 વત્તા 57 બરાબર 125. 'પૂર્ણતા' (purana) એટલે સંખ્યાને અનુકૂળ કિંમત સુધી ભરી દેવી; 'અપૂર્ણતા' એ એની પૂરક વિચારસરણી છે, જેમાં ખૂટતા જથ્થા સાથે કામ કરાય છે. બંને રીતે તમે એક અઘરી ગણતરીની જગ્યાએ એક સહેલી ગણતરી અને એક નાનો સુધારો લઈ આવો છો.
Practical
પૂર્ણતા આધારિત સરવાળો (ચકાસેલું)
def add_by_completion(a, b, round_to):
# 'a' ને round_to સુધી પૂરી કરો, સરવાળો કરો, પછી પાછું સરખું કરો
added = round_to - a # 70 - 68 = 2
easy = round_to + b # 70 + 57 = 127
return easy - added # 127 - 2 = 125
print(add_by_completion(68, 57, 70)) # 125
# 68 + 57 જેવો જ જવાબ, પણ વચ્ચેનું પગથિયું સહેલું.This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.
Formula
એ જ વિચાર: વર્ગ પૂરો કરવો
'પૂર્ણ કરવું' ફક્ત અંકગણિત પૂરતું નથી. Algebra માં વર્ગ પૂરો કરવો એ બરાબર આ જ વિચાર છે: તમે x નો વર્ગ વત્તા 6x જેવી પદાવલિ લો છો અને એને પૂર્ણ વર્ગ સુધી પૂરી કરો છો, એટલે કે (x + 3) નો વર્ગ, પછી વધારાનું બાદ કરીને સરખું કરો છો: (x + 3) નો વર્ગ ઓછા 9. પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા તમે 9 ઉમેર્યા હતા, એટલે કિંમત એની એ જ રહે તે માટે 9 બાદ કરો છો.
એટલે Puranapuranabhyam એક જ વ્યૂહરચનાનાં બે મુખ નામે ઓળખાવે છે: અંકગણિતમાં ગોળ કરીને સુધારવું, અને algebra માં વર્ગ પૂરો કરવો. બંને અઘરા સ્વરૂપને અનુકૂળ આકાર સુધી પૂરું કરીને અને પછી સરખું કરીને સહેલું બનાવે છે.
Quiz
પૂર્ણતાની રીતે, પહેલાં 68 ને 70 સુધી ગોળ કરીને 68 + 57 ગણો.
- 129, કારણ કે 70 + 57 = 127 થાય અને પછી 2 ઉમેરાય
- 125, કારણ કે 70 + 57 = 127 થાય અને ઉમેરેલા 2 બાદ કરાય
- 127, કારણ કે 70 + 57 = 127 થાય અને કોઈ સુધારાની જરૂર નથી
- 123, કારણ કે 4 બાદ કરવામાં આવે
Show the answer
125, કારણ કે 70 + 57 = 127 થાય અને ઉમેરેલા 2 બાદ કરાય
68 ને 2 ઉમેરીને 70 સુધી પૂરી કરો, જેથી સહેલો સરવાળો 70 વત્તા 57 બરાબર 127 મળે. તમે 68 માં 2 ઉમેર્યા હતા, એટલે કુલ સાચું રહે તે માટે એ 2 પાછા બાદ કરવા પડે: 127 ઓછા 2 બરાબર 125, જે ખરેખર 68 વત્તા 57 છે. વિકલ્પ A ઊલટી દિશામાં સુધારો કરે છે (ફરી 2 ઉમેરીને) અને વધારે ગણી લે છે. વિકલ્પ C સુધારો કરવાનું જ ભૂલી જાય છે, એટલે કુલ 2 જેટલો વધારે રહી જાય છે (એ 70 વત્તા 57 છે, 68 વત્તા 57 નહીં). વિકલ્પ D ખોટો જથ્થો બાદ કરે છે. નિયમ: સંખ્યા પૂરી કરવા જેટલું ઉમેરો, પછી એટલું જ બાદ કરો, જેથી કિંમત બદલાય નહીં અને ગણતરી ફક્ત સહેલી બની જાય.
Think first
ગોળ સંખ્યા સુધી પૂરું કરવું આપણા મગજ માટે સહેલું કેમ પડે છે?
68 + 57 અને 70 + 57 વચ્ચે ફક્ત 2 નો ફેર છે, છતાં બીજું આટલું સહેલું કેમ લાગે છે? વિચારીને પછી tap કરો.
Show the answer
કારણ કે ગોળ સંખ્યાઓ (10 ના ગુણાંક) વદ્દી ટાળે છે, અને મનમાં ગણતાં થતી ભૂલોનું મુખ્ય કારણ વદ્દી જ છે. 68 વત્તા 57 કરો ત્યારે એકમના 8 વત્તા 7 બરાબર 15 થાય, જે દશકમાં વદ્દી લેવા મજબૂર કરે છે, અને એ વદ્દી સાચવતાં સાચવતાં દશક પણ ઉમેરવાના હોય ત્યાં જ ભૂલો ઘૂસી જાય છે.
પણ 70 શૂન્યથી પૂરું થાય છે, એટલે 70 વત્તા 57 માં એકમ સાવ સહેલા (0 વત્તા 7 બરાબર 7) અને દશકનો સરવાળો પણ સહેલો (70 વત્તા 50 બરાબર 120), જેથી કોઈ વદ્દી સાચવ્યા વગર 127 મળી જાય. 'ગોળ સંખ્યામાં ઉમેરો' એ કામ આપણું મગજ લગભગ તરત જ કરી લે છે.
પૂર્ણતાની રીત આનો જ લાભ લે છે: એ અઘરી સંખ્યાને નજીકની ગોળ કિંમત સુધી ખસેડે છે, વદ્દી વગરનો સરવાળો કરે છે, અને પછી એક જ નાનો, ચોખ્ખો સુધારો કરે છે (ઉમેરેલા 2 બાદ કરવા), જે પોતે પણ સહેલો છે. અસરમાં તમે એક અઘરા પગથિયા (વદ્દીવાળો સરવાળો) ની જગ્યાએ બે સહેલાં પગથિયાં (ગોળ સરવાળો અને નાની બાદબાકી) મૂકો છો, જે મનમાં ગણવા માટે ઝડપી અને વધુ ભરોસાપાત્ર છે.
મનમાં ગણવાની ઘણી યુક્તિઓ પાછળ, અને છૂટા પૈસા આપતી વખતે કે બિલનો અંદાજ કાઢતી વખતે પણ, આ જ મનોવિજ્ઞાન કામ કરે છે: આપણે અનુકૂળ ટેકા સુધી ગોળ કરીએ છીએ અને પછી સુધારો કરીએ છીએ. અને algebra માં વર્ગ પૂરો કરવો એ જ વ્યૂહરચના જુદા કારણસર વાપરે છે: પૂર્ણ વર્ગ એવો 'અનુકૂળ આકાર' છે જેનું વર્ગમૂળ લઈ શકાય અને જેના પર તર્ક કરી શકાય, એટલે તમે એ સુધી પૂરું કરો છો અને પછી સરખું કરો છો. ગોળ કે નિયમિત આકારો સાથે કામ કરવું સહેલું જ હોય છે; પૂર્ણતાની રીત તમને ત્યાં પહોંચાડે છે અને તફાવત સુધારી આપે છે. અનુકૂળ બનાવો, પછી ખાડો પૂરો.
Summary
Key takeaways
- Puranapuranabhyam ('પૂર્ણ કરીને કે અધૂરું રાખીને') સંખ્યાને અનુકૂળ કિંમત સુધી પૂરી કરે છે, સહેલી ગણતરી કરે છે, પછી પાછું સરખું કરે છે.
- 68 + 57: 68 ને 70 સુધી પૂરી કરો (2 ઉમેરો), 70 + 57 = 127 ગણો, પછી 2 બાદ કરીને 125 મેળવો.
- સંખ્યા પૂરી કરવા જેટલું ઉમેરો, પછી એટલું જ બાદ કરો, જેથી કિંમત બદલાય નહીં.
- એ જ વિચાર algebra માં વર્ગ પૂરો કરવાનો છે: x નો વર્ગ વત્તા 6x એટલે (x + 3) નો વર્ગ ઓછા 9.
- આ રીત એટલા માટે કામ કરે છે કે ગોળ સંખ્યાઓ વદ્દી ટાળે છે, જેથી અંકગણિત સહેલું અને વધુ ભરોસાપાત્ર બને છે.
- એ એક જ વ્યૂહરચનાનાં બે મુખ છે (અંકગણિતમાં ગોળ કરવું અને algebra માં પૂર્ણ કરવું); 1965 ના પુસ્તકમાંથી.
- યાદ રાખવાની કડી: ગોળ કરો, સહેલાઈથી ગણો, અને જેટલું ઉમેર્યું એટલું પાછું સરખું કરો.