Nikhilam Navatashcaramam Dashatah: All from 9 and the last from 10

📖 Theory

ગુણાકારની ટૂંકી રીત

97 ને 96 વડે મનમાં કેટલી ઝડપથી ગુણી શકો? લાંબી રીત ગૂંચવણભરી છે. પણ એક એવી પદ્ધતિ છે જે આ કામ લગભગ તરત કરી આપે છે, અને એ Nikhilam Navatashcaramam Dashatah સૂત્રમાંથી આવે છે, જેનો સામાન્ય અનુવાદ થાય છે 'બધા 9 માંથી અને છેલ્લો 10 માંથી'.

આ એકમમાં આવી ગણતરીની પદ્ધતિઓનો સમૂહ ભણવાનો છે. દરેક એક ટૂંકી રીત છે, એટલે કે ગણવાની ચતુર અને વ્યવસ્થિત રીત, અને તમારો અભ્યાસક્રમ કહે છે કે દરેકને શીખો, દાખલો ગણો અને પછી એને code માં ઉતારો. શરૂઆત Nikhilam થી, જે 100 જેવા આધારથી સહેજ નીચે બેસતી સંખ્યાઓના ગુણાકારની ટૂંકી રીત છે.

⚠️ Watch out

આ એકમ કઈ રીતે રજૂ થયો છે

અહીં ભણવાનાં સોળ સૂત્રો 20 મી સદીના પુસ્તક 'Vedic Mathematics' (1965), લેખક ભારતી કૃષ્ણ તીર્થ માંથી આવે છે. આપણે દરેક સૂત્રને એ જે ગણતરીની પદ્ધતિ બાંધી આપે છે એ રીતે જ લઈએ છીએ: પદ્ધતિ શીખવીએ, દાખલો ગણીએ અને એને code માં લખીએ. પુસ્તકની બહાર જઈને કોઈ ઐતિહાસિક દાવો કરતા નથી, અને કોઈ પ્રાચીન સંસ્કૃત સ્રોત કે શ્લોકનો પાઠ ઉપજાવી કાઢતા નથી. સૂત્રોના પૂરા વિવેચન માટે નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ. અહીંનું મૂલ્ય વ્યવહારુ છે: આ સુઘડ અને ચકાસી શકાય એવી ગણિતની રીતો છે જેને તમે program કરી શકો.

📖 Theory

Nikhilam પદ્ધતિ, આધાર 100 ની નજીક

100 થી સહેજ નીચેની બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા ત્રણ પગથિયાં અનુસરો.

1. દરેક સંખ્યાની ઘટ શોધો (એ 100 થી કેટલી નીચે છે). 97 ની ઘટ 3 છે; 96 ની 4 છે. ('બધા 9 માંથી અને છેલ્લો 10 માંથી' એ ઘટ શોધવાની ઝડપી રીત છે: દરેક અંક 9 માંથી બાદ કરો અને છેલ્લો 10 માંથી.)

2. ડાબો ભાગ: એક સંખ્યામાંથી બીજીની ઘટ બાદ કરો. 97 ઓછા 4 બરાબર 93 (અને 96 ઓછા 3 પણ 93 જ થાય, એટલે બંને રીતે ચાલે છે).

3. જમણો ભાગ: બંને ઘટનો ગુણાકાર કરો. 3 ગુણ્યા 4 બરાબર 12.

હવે એમને જોડો: 93 | 12 = 9312. એટલે 97 ગુણ્યા 96 બરાબર 9312.

📖 Theory

બીજો દાખલો

હવે 98 ગુણ્યા 97 કરો, આધાર 100.

• ઘટ: 98 એ 2 નીચે, 97 એ 3 નીચે.
• ડાબો ભાગ: 98 ઓછા 3 બરાબર 95 (અથવા 97 ઓછા 2, એ પણ 95).
• જમણો ભાગ: 2 ગુણ્યા 3 બરાબર 6, જેને 06 તરીકે લખવો પડે, કારણ કે આધાર 100 ને બે અંકની જગ્યા જોઈએ છે.

પરિણામ: 95 | 06 = 9506. અને ખરેખર 98 ગુણ્યા 97 બરાબર 9506 જ થાય છે. ધ્યાન આપો કે જમણો ભાગ બે અંક સુધી ભરવો પડે છે, કારણ કે આધાર 100 માં બે શૂન્ય છે; આ ભરવાનું બરાબર કરવું એ ધ્યાન રાખવા જેવી એક વિગત છે.

⌨️ Practical

Python માં Nikhilam (ચકાસેલું)

def nikhilam(a, b, base=100):
    da = base - a          # a ની ઘટ (દા.ત. 100-97 = 3)
    db = base - b          # b ની ઘટ (દા.ત. 100-96 = 4)
    left = a - db          # આડી બાદબાકી (== b - da)
    right = da * db        # ઘટનો ગુણાકાર
    return left * base + right   # જોડો: left | right

print(nikhilam(97, 96))   # 9312
print(nikhilam(98, 97))   # 9506
# left*base + right એ 'right' ને આધારના અંક જેટલી જગ્યામાં ગોઠવે છે (ભરવાનું સંભાળી લે છે).

This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.

🧩 Quiz

આધાર 100 ની નજીક Nikhilam વાપરીને 97 ને 96 વડે ગુણો. ડાબો અને જમણો ભાગ તથા જવાબ શું થાય?

1. ડાબો 93, જમણો 12, જવાબ 9312 (ઘટ 3 અને 4: 97-4=93, અને 3x4=12)
2. ડાબો 93, જમણો 7, જવાબ 937
3. ડાબો 91, જમણો 12, જવાબ 9112
4. ડાબો 97, જમણો 96, જવાબ 9796

💭 Think first

Nikhilam પદ્ધતિ કેમ કામ કરે છે?

જોવામાં જાદુ જેવું લાગે છે, પણ છે સાદું algebra. આડી બાદબાકી અને ગુણાકારથી સાચો ગુણાકાર કેમ મળી જાય છે? વિચારીને પછી tap કરો.

✅ Summary

Key takeaways

• સોળ સૂત્રો 1965 ના પુસ્તક 'Vedic Mathematics' (ભારતી કૃષ્ણ તીર્થ) માંથી આવે છે; આપણે દરેકને ગણતરીની પદ્ધતિ તરીકે શીખવીએ છીએ અને code માં લખીએ છીએ.
• Nikhilam ('બધા 9 માંથી અને છેલ્લો 10 માંથી') 100 જેવા આધારની નજીકની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરે છે.
• દરેક સંખ્યાની આધારથી નીચેની ઘટ શોધો (97 એટલે 3, 96 એટલે 4).
• ડાબો ભાગ: આડી બાદબાકી (97 - 4 = 93, જે 96 - 3 જેટલું જ); જમણો ભાગ: ઘટનો ગુણાકાર (3 x 4 = 12).
• જોડો: 93 | 12 = 9312, જે 97 x 96 છે; જમણા ભાગને આધારના અંક જેટલી જગ્યા સુધી ભરો (98 x 97 = 95 | 06 = 9506).
• એ કામ કરે છે કારણ કે (B - x)(B - y) = B(B - x - y) + xy, જે આધારનો લાભ લેતું સાદું algebra છે.
• યાદ રાખવાની કડી: ઘટ શોધો, ડાબે આડી બાદબાકી, જમણે ગુણાકાર, પછી જોડો.