Udharan: The extraction

📖 Theory

ટૂંકી રીતોને કામે લગાડવી

Udharan (ઉદાહરણ) શબ્દનો અર્થ થાય છે ગણી બતાવેલો દાખલો. એટલે આ પાઠ મજબૂત કરવાની તક છે: તમે જે ટૂંકી રીતો શીખી ચૂક્યા છો એ લઈને નવા પ્રશ્નોના જવાબ કાઢવા, અને સાથે એ મહાવરો કરવો કે કઈ પદ્ધતિ બંધબેસે છે એ ઓળખીને એને સફાઈથી લગાડવી.

અત્યાર સુધીમાં તમારી પાસે બે ઓજાર છે: Nikhilam (આધારની નજીકની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર) અને Ekadhikena Purvena (5 થી પૂરી થતી સંખ્યાઓનો વર્ગ). અહીં આપણે એમને નવી સંખ્યાઓ પર કસીશું. (હંમેશની જેમ આ સામગ્રી ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી છે; આ વિષયનો અભિપ્રેત વ્યાપ ચકાસવા નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ.)

📖 Theory

Nikhilam વડે જવાબ કાઢવા

96 ગુણ્યા 95 લો, આધાર 100 ની નજીક.

• ઘટ: 96 એ 100 થી 4 નીચે, 95 એ 5 નીચે.
• ડાબો ભાગ: આડી બાદબાકી કરો, 96 ઓછા 5 બરાબર 91 (અથવા 95 ઓછા 4, એ પણ 91).
• જમણો ભાગ: ઘટનો ગુણાકાર કરો, 4 ગુણ્યા 5 બરાબર 20.

પરિણામ: 91 | 20 = 9120, અને 96 ગુણ્યા 95 ખરેખર 9120 જ થાય છે. અહીં જે skill નો મહાવરો થાય છે તે ઓળખવાનું છે: 100 થી સહેજ નીચેની બે સંખ્યાઓ જોતાં જ Nikhilam તરફ હાથ જવો જોઈએ, અને પછી થોડી જ ક્ષણોમાં જવાબ નીકળી આવે.

📖 Theory

Ekadhikena વડે વર્ગ કાઢવા

હવે 5 થી પૂરી થતી સંખ્યાઓની ભાત ઓળખો અને Ekadhikena Purvena લગાડો.

• 45 નો વર્ગ: આગળનો ભાગ 4, તેના કરતાં એક વધુ એટલે 5, તો 4 ગુણ્યા 5 બરાબર 20; પાછળ 25 જોડો, મળે 2025.
• 95 નો વર્ગ: આગળનો ભાગ 9, તેના કરતાં એક વધુ એટલે 10, તો 9 ગુણ્યા 10 બરાબર 90; પાછળ 25 જોડો, મળે 9025.

બંને સામાન્ય રીતે વર્ગ કરવાથી મળતા જવાબ સાથે મળી રહે છે. ઉદાહરણનો, એટલે કે ગણી બતાવેલા દાખલાનો, હેતુ બરાબર આ જ પ્રવાહિતા છે: હવે તમે દર વખતે પદ્ધતિ તારવતા નથી; તમે પ્રશ્નનો આકાર ઓળખો છો અને જવાબ કાઢી લો છો.

⌨️ Practical

નવા પ્રશ્નો પર એ જ ટૂંકી રીતો (ચકાસેલું)

def nikhilam(a, b, base=100):
    da, db = base - a, base - b
    return (a - db) * base + da * db

def square_ending_in_5(n):
    f = n // 10
    return f * (f + 1) * 100 + 25

print(nikhilam(96, 95))        # 9120
print(square_ending_in_5(45))  # 2025
print(square_ending_in_5(95))  # 9025

This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.

🧩 Quiz

આધાર 100 ની નજીક Nikhilam વાપરીને 96 ગુણ્યા 95 નો દાખલો ગણો. જવાબ શું થાય?

1. 9120, જેમાં ડાબો 91 (96-5) અને જમણો 20 (4x5)
2. 9130, જેમાં ડાબો 91 અને જમણો 30
3. 8145, ઘટ ઉમેરવાથી
4. 9125, કારણ કે એ 25 થી પૂરું થાય છે

💭 Think first

ગણી બતાવેલા દાખલાનો મહાવરો કેમ અગત્યનો છે?

પદ્ધતિઓ તો તમને આવડે જ છે. તો આખો પાઠ ફક્ત વધુ સંખ્યાઓ પર એ લગાડવામાં કેમ ગાળવો? વિચારીને પછી tap કરો.

✅ Summary

Key takeaways

• Udharan (ઉદાહરણ) એટલે ગણી બતાવેલો દાખલો; આ પાઠ પહેલાં શીખેલી ટૂંકી રીતોને પાકી કરે છે.
• અહીં જે skill કેળવાય છે તે એ કે પ્રશ્નને કઈ પદ્ધતિ બંધબેસે એ ઓળખવું અને પછી જવાબ ઝડપથી કાઢવો.
• 96 ગુણ્યા 95 પર Nikhilam: ઘટ 4 અને 5, ડાબો 91, જમણો 20, એટલે 9120.
• 45 ના વર્ગ પર Ekadhikena એટલે 2025, અને 95 ના વર્ગ પર 90 | 25 = 9025.
• દરેક જવાબ સામાન્ય ગણિત સામે ચકાસાય છે; એ જ લખેલાં functions નવા input પણ સંભાળી લે છે.
• આ 1965 ના પુસ્તકમાંથી પદ્ધતિ પાકી કરવાનો વિષય છે; અભિપ્રેત વ્યાપ નિર્ધારિત પુસ્તકથી ચકાસો.
• યાદ રાખવાની કડી: આકાર ઓળખો, સૂત્ર પસંદ કરો, જવાબ કાઢો.