Theory
જે ખબર છે એને પ્રમાણમાં માપો
જો તમને ખબર હોય કે 16 ગુણ્યા 16 બરાબર 256, તો 16 ગુણ્યા 32 સહેલું પડવું જોઈએ, કારણ કે 32 એ 16 થી બમણું છે, એટલે જવાબ પણ 256 થી બમણો થશે. ratio વડે કરેલો આ તર્ક એ જ Anurupyena સૂત્ર છે, એટલે કે 'proportionately'.
એ એક સાદો પણ શક્તિશાળી વિચાર પકડે છે: જાણીતું પરિણામ ફરી વાપરો અને એને પ્રમાણમાં માપીને સંકળાયેલા પરિણામ સુધી પહોંચો. એના લીધે જ Nikhilam પદ્ધતિ પણ અનુકૂળ 'working base' વાપરી શકે છે. આ પાઠ સહેલાઈથી સમજાય એવું પ્રમાણવાળું સ્વરૂપ ચકાસેલા દાખલા સાથે શીખવે છે, અને એ ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી છે.
Theory
પ્રમાણ કામમાં
એક જાણીતા ગુણાકારથી શરૂ કરો: 16 ગુણ્યા 16 બરાબર 256.
- 16 ગુણ્યા 32: 32 એ 16 થી 2 ગણું હોવાથી, ગુણાકાર પણ 256 થી 2 ગણો થાય, એટલે 512. (અને 16 ગુણ્યા 32 ખરેખર 512 જ છે.)
- 16 ગુણ્યા 48: 48 એ 16 થી 3 ગણું હોવાથી, ગુણાકાર 256 થી 3 ગણો થાય, એટલે 768. (અને 16 ગુણ્યા 48 બરાબર 768.)
દરેક નવો જવાબ જાણીતા જવાબમાંથી ફક્ત એક ગુણાકારે, એટલે કે ratio વડે, મળી જાય છે; આખી ગણતરી નવેસરથી કરવી પડતી નથી. પ્રમાણનો અર્થ એ જ છે: એક factor ratio જેટલો બદલો, એટલે ગુણાકાર પણ એટલા જ ratio એ બદલાય.
Practical
Python માં proportional માપન (ચકાસેલું)
def by_proportion(known_product, ratio):
# જાણીતા ગુણાકારમાં એક factor 'ratio' જેટલો બદલાય, તો ગુણાકાર પણ એટલો જ માપો.
return known_product * ratio
base = 16 * 16 # 256
print(by_proportion(base, 2)) # 16*32 -> 512
print(by_proportion(base, 3)) # 16*48 -> 768
# કારણ કે product(a, k*b) = k * product(a, b): factor k ગણો કરો, ગુણાકાર k ગણો.This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.
Formula
ઉપરાંત: Nikhilam માટે working base
Anurupyena નો બીજો, સંકળાયેલો ઉપયોગ પણ છે. Nikhilam 100 કે 1000 જેવા આધારની નજીક સૌથી સહેલું પડે છે, પણ ક્યારેક તમારી સંખ્યાઓ 50 કે 200 જેવી ઓછી અનુકૂળ કિંમતની નજીક બેસતી હોય. એવે વખતે તમે અનુકૂળ working base (મુખ્ય આધારનો ગુણાંક કે ભાગ) વાપરી શકો અને પછી માપના તફાવત માટે proportional સુધારો કરી શકો.
અહીં આપણે સ્પષ્ટ પ્રમાણવાળા વિચાર પર જ ધ્યાન રાખીએ છીએ, કારણ કે એ સૌથી વધુ બીજે લાગુ પડે એવો છે. Working base વાળી ગુણાકારની વિગતવાર પદ્ધતિ માટે નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ. બંને રીતે જોડનારો દોર એક જ છે: અનુકૂળ કિસ્સા અને તમને ખરેખર જોઈતા કિસ્સા વચ્ચે ફરવા માટે ratio વાપરો.
Quiz
તમને ખબર છે કે 16 ગુણ્યા 16 બરાબર 256. Anurupyena (પ્રમાણ) વાપરીને 16 ગુણ્યા 32 કેટલા થાય?
- 272, કારણ કે 256 માં 16 ઉમેરાય
- 512, કારણ કે 32 એ 16 થી 2 ગણું છે, એટલે ગુણાકાર 256 થી 2 ગણો થાય
- 256, કારણ કે એક factor તો હજુ 16 જ છે
- 1024, કારણ કે 256 નો વર્ગ કરવામાં આવે
Show the answer
512, કારણ કે 32 એ 16 થી 2 ગણું છે, એટલે ગુણાકાર 256 થી 2 ગણો થાય
32 એ 16 થી 2 ગણું હોવાથી, એ factor 2 ના ratio એ બદલાય છે અને ગુણાકાર પણ 2 ગણો થાય છે: 2 ગુણ્યા 256 બરાબર 512, જે બરાબર 16 ગુણ્યા 32 છે. વિકલ્પ A ratio લગાડવાને બદલે 16 ઉમેરી દે છે; પ્રમાણ ગુણે છે, ઉમેરતું નથી. વિકલ્પ C એ ભૂલી જાય છે કે એક factor બમણો થયો છે (16 ગુણ્યા 32 એ 16 ગુણ્યા 16 જેટલું નથી). વિકલ્પ D કારણ વગર જાણીતા ગુણાકારનો વર્ગ કરી નાખે છે. પ્રમાણનો નિયમ: એક factor ને k વડે ગુણો, તો ગુણાકાર પણ k વડે ગુણાય, એટલે factor બમણો કરવાથી જવાબ પણ બમણો થાય.
Think first
મનમાં ગણવામાં પ્રમાણનો તર્ક આટલો ઉપયોગી કેમ છે?
દર વખતે સીધું ગણી નાખવાને બદલે જાણીતા પરિણામ અને ratio પર ટેકો કેમ લેવો? વિચારીને પછી tap કરો.
Show the answer
કારણ કે એ તમને પહેલેથી ખબર હોય એવી વસ્તુ સાથે લંગર નાખીને અઘરી ગણતરીની જગ્યાએ સહેલી ગણતરી મૂકવા દે છે, અને એ ઘણી વાર વધુ ઝડપી તથા ઓછી ભૂલવાળી હોય છે.
સીધી ગણતરી દરેક પ્રશ્નને સાવ નવો ગણે છે, પણ ઘણા પ્રશ્નો એવા પ્રશ્નોના નજીકના સગા હોય છે જે તમે તરત કરી શકો. જો તમારી પાસે અનુકૂળ લંગર હોય, જેમ કે 16 ગુણ્યા 16 બરાબર 256, અથવા 25 ગુણ્યા 4 બરાબર 100, તો સંકળાયેલા ગુણાકારોનું આખું કુટુંબ (16 ગુણ્યા 32, 16 ગુણ્યા 48, 16 ગુણ્યા 64) દર વખતે લાંબા ગુણાકારને બદલે ફક્ત ratio વડેનો એક સહેલો ગુણાકાર બની જાય છે.
કુશળ ગણતરીબાજો બરાબર આ જ રીતે કામ કરે છે: તેઓ જાણીતાં પરિણામોનો ભંડાર રાખે છે અને એમને માપીને, અડધાં કરીને, બમણાં કરીને તથા proportionately જોડીને નવા જવાબ સુધી પહોંચે છે.
આ વિચાર અંકગણિતથી ઘણો આગળ પણ ચાલે છે: રસોઈની માત્રા વધારવી, એકમો બદલવા, જથ્થો સરખો કરવો કે નકશો વાંચવો, આ બધાનો કરોડરજ્જુ પ્રમાણ જ છે. એટલે 'આ પેલું છે, ગુણ્યા ratio' એવો વિચાર કરવાની ટેવ બધે ફળે છે.
અને એ Nikhilam ના working base વાળા વિચાર સાથે પણ જોડાય છે: સંખ્યાઓ ઓછી અનુકૂળ કિંમતની નજીક હોય ત્યારે તમે અનુકૂળ આધાર પાસે ગણો છો અને પછી proportional સુધારો કરો છો, એટલે ફરી એક વાર અઘરો કિસ્સો સહેલા કિસ્સા વત્તા ratio સામે બદલાય છે.
એટલે પ્રમાણ ફક્ત આ દાખલા પૂરતી યુક્તિ નથી; એ એક સામાન્ય વ્યૂહરચના છે, જાણીતા સાથે લંગર નાખો અને જોઈતા સુધી માપો, જે ગણતરીને હળવી બનાવે છે. એક જાણો, અનેક સુધી માપો.
Summary
Key takeaways
- Anurupyena ('proportionately') જાણીતા પરિણામને ratio વડે માપીને સંકળાયેલા પરિણામ સુધી પહોંચે છે.
- 16 ગુણ્યા 16 બરાબર 256 માંથી: 16 ગુણ્યા 32 બરાબર 2 ગુણ્યા 256 બરાબર 512 (32 એ 16 થી બમણું); 16 ગુણ્યા 48 બરાબર 3 ગુણ્યા 256 બરાબર 768.
- નિયમ: એક factor ને k વડે ગુણો, તો ગુણાકાર પણ k વડે ગુણાય.
- Code માં, સંકળાયેલો ગુણાકાર એટલે ફક્ત known_product ગુણ્યા ratio.
- Anurupyena Nikhilam ને અનુકૂળ working base વાપરીને proportional સુધારો કરવા પણ દે છે (નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ).
- પ્રમાણ અઘરી ગણતરીની જગ્યાએ જાણીતું પરિણામ વત્તા સહેલો ratio મૂકે છે; આ 1965 ના પુસ્તકની પદ્ધતિ છે.
- યાદ રાખવાની કડી: જાણીતા ગુણાકાર સાથે લંગર નાખો, ratio વડે માપો.