Theory
Toolkit નો બાકીનો ભાગ
મુખ્ય સૂત્રો ઉપરાંત પુસ્તકમાં કેટલાંક ટૂંકાં સૂત્રો પણ છે, જેમાંનું દરેક કોઈ ખાસ યુક્તિ છે. એમાંનાં બે અહીં આવે છે: Sesanyankena Charamena અને Gunitasamuchyah. એમની સાથે તમારો અભ્યાસક્રમ બીજાં 3 નામ ગણાવે છે, Vistaran, Rupan અને Chidana, એટલે આ પાઠ આ બધાં 5 ને એકસાથે મૂકે છે જેથી તમે એમને સાથે મળી લો.
એમાં સૌથી સ્પષ્ટ અને સૌથી ઉપયોગી, એટલે કે Gunitasamuchyah, જે ગુણાકારની સુઘડ ચકાસણી છે, એને પોતાનો ગણી બતાવેલો અને ચકાસેલો દાખલો આપીએ છીએ, અને બાકીનાંનો ટૂંકો પરિચય કરાવીએ છીએ. આખા એકમની જેમ, Sesanyankena Charamena અને Gunitasamuchyah ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી આવે છે; Vistaran, Rupan અને Chidana માટે અભ્યાસક્રમ ફક્ત નામ અને ટૂંકો અર્થ આપે છે, એટલે એમનાં ચોક્કસ સ્વરૂપ નિર્ધારિત પુસ્તકમાં તપાસી લેવાં.
At a glance
| સૂત્ર | આશરે અર્થ અને ઉપયોગ |
|---|---|
| Sesanyankena Charamena | 'છેલ્લા અંક વડે શેષ', આવર્તક દશાંશ સાથે વપરાય છે |
| Gunitasamuchyah | 'સરવાળાનો ગુણાકાર બરાબર ગુણનફળનો સરવાળો', ચકાસણી માટે |
| Vistaran | વિસ્તાર (પદાવલિ ખોલવી) |
| Rupan | રૂપ (કશુંક અનુકૂળ સ્વરૂપમાં મૂકવું) |
| Chidana | વિભાજન વડે (સંખ્યા કે પદાવલિને ટુકડામાં વહેંચવી) |
Theory
Gunitasamuchyah: ગુણાકારની ચકાસણી
Gunitasamuchyah polynomial ના ગુણાકારને ચકાસવાની ઝડપી રીત આપે છે. એ કહે છે: factors ના coefficients ના સરવાળાનો ગુણાકાર એ ગુણનફળના coefficients ના સરવાળા બરાબર થાય છે.
(x + 2)(x + 3) બરાબર x નો વર્ગ વત્તા 5x વત્તા 6 લો. હવે ચકાસો:
- પહેલા factor ના coefficients નો સરવાળો: 1 વત્તા 2 બરાબર 3. બીજાનો: 1 વત્તા 3 બરાબર 4. એમનો ગુણાકાર: 3 ગુણ્યા 4 બરાબર 12.
- ગુણનફળ x નો વર્ગ વત્તા 5x વત્તા 6 ના coefficients નો સરવાળો: 1 વત્તા 5 વત્તા 6 બરાબર 12.
બંને 12 છે, એટલે ગુણાકાર સુસંગત ઠરે છે. જો ન મળે તો ગણતરીમાં ક્યાંક ભૂલ થઈ છે એની નિશાની મળી જાય. આ ઝડપી ખાતરી છે, પૂરી સાબિતી નથી, પણ ખરેખર કામની છે.
Practical
Python માં Gunitasamuchyah ચકાસણી (ચકાસેલું)
# Gunitasamuchyah વડે (x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6 ચકાસો
factor1 = [1, 2] # (x + 2) ના coefficient
factor2 = [1, 3] # (x + 3) ના coefficient
product = [1, 5, 6] # x^2 + 5x + 6 ના coefficient
left = sum(factor1) * sum(factor2) # 3 * 4 = 12
right = sum(product) # 1 + 5 + 6 = 12
print(left, right, left == right) # 12 12 True -> સુસંગતThis example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.
Quiz
Gunitasamuchyah પ્રમાણે, (x + 2)(x + 3) બરાબર x નો વર્ગ વત્તા 5x વત્તા 6 માટે શું સરખું હોવું જોઈએ?
- બંને બાજુના સૌથી મોટા coefficient
- Factors ના coefficient-સરવાળાનો ગુણાકાર (3 x 4 = 12) અને ગુણનફળના coefficients નો સરવાળો (1 + 5 + 6 = 12)
- બંને બાજુ પદોની સંખ્યા
- ફક્ત constant પદ (2, 3 અને 6)
Show the answer
Factors ના coefficient-સરવાળાનો ગુણાકાર (3 x 4 = 12) અને ગુણનફળના coefficients નો સરવાળો (1 + 5 + 6 = 12)
Gunitasamuchyah એ ચકાસે છે કે factors ના coefficient-સરવાળાનો ગુણાકાર ગુણનફળના coefficients ના સરવાળા બરાબર થાય છે. અહીં factors ના સરવાળા 1 વત્તા 2 બરાબર 3 અને 1 વત્તા 3 બરાબર 4 છે, એટલે ગુણાકાર 12; અને ગુણનફળ x નો વર્ગ વત્તા 5x વત્તા 6 ના coefficients નો સરવાળો 1 વત્તા 5 વત્તા 6 બરાબર 12. બંને 12 છે, એટલે ગુણાકાર સુસંગત ઠરે છે. વિકલ્પ A (સૌથી મોટા coefficient) સૂત્ર જે સરખાવે છે એ નથી. વિકલ્પ C (પદોની સંખ્યા) સાવ અસંબંધિત છે. વિકલ્પ D ફક્ત constant પદ (2, 3, 6) જુએ છે, પણ એકલું 2 ગુણ્યા 3 બરાબર 6 એ પૂરી ચકાસણી નથી; સૂત્ર બધા coefficients ના સરવાળા વાપરે છે, ફક્ત constant પદ નહીં. સરવાળાનો ગુણાકાર બરાબર ગુણનફળનો સરવાળો: ઝડપી ખાતરી.
Think first
Gunitasamuchyah જેવી ચકાસણી રાખવા જેવી કેમ છે?
એ જવાબ ગણી આપતી નથી, ફક્ત ચકાસે છે. તો એનું મૂલ્ય શું? વિચારીને પછી tap કરો.
Show the answer
કારણ કે ભૂલ પકડવી એ ઘણી વાર ગણતરી કરવા જેટલી જ અગત્યની હોય છે, અને આવી ઝડપી, સ્વતંત્ર ચકાસણી બહુ સસ્તામાં ભૂલો ચીંધી આપે છે.
જ્યારે તમે (x + 2)(x + 3) હાથે ખોલો છો, ત્યારે લપસી પડવું સહેલું છે: વચલો coefficient ખોટો પડે, કોઈ પદ છૂટી જાય, સરવાળો ખોટો થાય. Gunitasamuchyah પરિણામ ચકાસવાની ઝડપી અને સ્વતંત્ર રીત આપે છે: factors ના coefficient-સરવાળાનો ગુણાકાર ગણો (3 ગુણ્યા 4 બરાબર 12) અને જવાબના coefficients નો સરવાળો ગણો (1 વત્તા 5 વત્તા 6).
જો બંને મળી જાય (બંને 12), તો જવાબ સુસંગતતાની કસોટીમાં પાર ઊતરે છે; અને જો ન મળે, તો તમને ચોક્કસ ખબર પડી જાય કે ભૂલ થઈ છે અને ફરી તપાસવું જોઈએ, એ પહેલાં કે એ ભૂલ એના પર બંધાયેલા બધા કામમાં ફેલાઈ જાય.
Computing માં checksums પાછળ અને સામાન્ય અંકગણિતમાં 'નવ કાઢવા' ની રીત પાછળ આ જ સિદ્ધાંત છે: સસ્તી, અલગ ગણતરી જે આખું કામ ફરી કર્યા વગર ઘણી ભૂલો પકડી પાડે.
એ સાચા હોવાની સાબિતી નથી (કેટલીક ભૂલો એક જ ચકાસણીમાંથી છટકી શકે, અને પાર ઊતરવું એટલે દરેક coefficient સાચો હોવાની ખાતરી નહીં), પણ સંરક્ષણની પહેલી ઝડપી હરોળ તરીકે એ કીમતી છે, ખાસ કરીને પરીક્ષામાં અને હાથે ગણવામાં જ્યાં લપસવું સામાન્ય છે.
ચકાસણી પોતે એક skill છે, અને Gunitasamuchyah એ માટેનું સુઘડ, યાદ રહી જાય એવું ઓજાર છે. ગણો, પછી ચકાસો; ભૂલ વહેલી પકડાય તો પછીનું બધું બચી જાય છે.
Summary
Key takeaways
- Sesanyankena Charamena અને Gunitasamuchyah પુસ્તકનાં ટૂંકાં સૂત્રો છે; Vistaran, Rupan અને Chidana તમારા અભ્યાસક્રમે ગણાવેલાં નામ છે, એટલે એમનાં ચોક્કસ સ્વરૂપ નિર્ધારિત પુસ્તકમાં તપાસી લેવાં.
- Sesanyankena Charamena ('છેલ્લા અંક વડે શેષ') આવર્તક દશાંશ સાથે વપરાય છે; Vistaran એટલે વિસ્તાર, Rupan એટલે રૂપ, અને Chidana એટલે વિભાજન.
- Gunitasamuchyah ગુણાકારની ચકાસણી છે: factors ના coefficient-સરવાળાનો ગુણાકાર ગુણનફળના coefficients ના સરવાળા બરાબર થાય છે.
- (x + 2)(x + 3) બરાબર x નો વર્ગ વત્તા 5x વત્તા 6 માટે: (1+2)(1+3) બરાબર 12, જે 1 વત્તા 5 વત્તા 6 બરાબર 12 સાથે મળે છે, એટલે સુસંગત.
- એ ઝડપી ખાતરી છે (નવ કાઢવા કે checksum જેવી), પૂરી સાબિતી નથી.
- અહીં શીખવેલી પદ્ધતિ 1965 ના પુસ્તકની છે; પૂરા વિવેચન માટે નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ.
- યાદ રાખવાની કડી: Gunitasamuchyah, એટલે સરવાળાનો ગુણાકાર બરાબર ગુણનફળનો સરવાળો, ઝડપી ચકાસણી.