Theory
5 થી પૂરી થતી સંખ્યાઓનો વર્ગ
65 નો વર્ગ કેટલો? મોટા ભાગના લોકો કાગળ અને પેન શોધવા લાગે છે. પણ 5 થી પૂરી થતી કોઈ પણ સંખ્યા નો વર્ગ કાઢવા માટે એક અત્યંત સરળ નિયમ છે, અને એ Ekadhikena Purvena સૂત્રમાંથી આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે 'આગળના કરતાં એક વધુ વડે'.
આ એકમની આ બીજી પદ્ધતિ છે. Nikhilam ની જેમ આ પણ એવી વ્યવસ્થિત ટૂંકી રીત છે જે તમે શીખી શકો, સામાન્ય ગણિત સામે ચકાસી શકો અને code માં લખી શકો. પહેલાંની જેમ અહીં પણ આપણે એને ફક્ત ગણતરીની પદ્ધતિ તરીકે જ લઈએ છીએ, જે ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી આવે છે, અને ચકાસેલા દાખલા જ ગણીએ છીએ.
Theory
નિયમ
5 થી પૂરી થતી સંખ્યાનો વર્ગ કાઢવા માટે:
1. 5 ની પહેલાંનો ભાગ જુઓ (સૂત્ર એને 'આગળનો' કહે છે). 65 માટે એ ભાગ 6 છે.
2. એને પોતાના કરતાં એક વધુ સંખ્યા વડે ગુણો ('આગળના કરતાં એક વધુ વડે'). 6 કરતાં એક વધુ એટલે 7, તો 6 ગુણ્યા 7 બરાબર 42.
3. પરિણામની પાછળ 25 જોડી દો.
એટલે 65 નો વર્ગ થયો 42 | 25 = 4225. છેલ્લા બે અંક હંમેશા 25 જ રહે છે (કારણ કે 5 થી પૂરી થતી સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા 25 થી પૂરો થાય છે); આખું કામ ફક્ત આગળના ભાગને પછીના integer વડે ગુણવાનું જ છે.
Theory
બીજા દાખલા
નિયમ દર વખતે એક જ રહે છે.
- 25 નો વર્ગ: આગળનો ભાગ 2, તેના કરતાં એક વધુ એટલે 3, તો 2 ગુણ્યા 3 બરાબર 6; પાછળ 25 જોડો, મળે 625.
- 35 નો વર્ગ: 3 ગુણ્યા 4 બરાબર 12; પાછળ 25 જોડો, મળે 1225.
- 65 નો વર્ગ: 6 ગુણ્યા 7 બરાબર 42; પાછળ 25 જોડો, મળે 4225.
દરેક જવાબ સામાન્ય રીતે વર્ગ કરવાથી મળતા જવાબ સાથે મળી રહે છે. એક વાર આ સમજાઈ જાય પછી 15, 25, 35 અને એથી આગળની સંખ્યાઓના વર્ગ તમે મનમાં જ તરત કાઢી શકશો: આગળના ભાગને પછીની સંખ્યા વડે ગુણો અને છેડે 25 ચોંટાડી દો.
Practical
Python માં Ekadhikena Purvena (ચકાસેલું)
def square_ending_in_5(n):
# n 5 થી પૂરી થવી જોઈએ, જેમ કે 25, 35, 65
front = n // 10 # 5 ની પહેલાંનો ભાગ (65 -> 6)
left = front * (front + 1) # 'આગળના કરતાં એક વધુ': 6 * 7 = 42
return left * 100 + 25 # પાછળ 25 જોડો
print(square_ending_in_5(25)) # 625
print(square_ending_in_5(35)) # 1225
print(square_ending_in_5(65)) # 4225This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.
Quiz
Ekadhikena Purvena વાપરીને 35 નો વર્ગ કેટલો થાય?
- 1215, કારણ કે પાછળ 15 જોડાય છે
- 1225, કારણ કે 3 ગુણ્યા (3+1) બરાબર 12, પછી પાછળ 25 જોડાય છે
- 925, કારણ કે 3 ગુણ્યા 3 બરાબર 9, પછી 25 જોડાય છે
- 1250, કારણ કે 35 ગુણ્યા 35 લગભગ 1250 થાય છે
Show the answer
1225, કારણ કે 3 ગુણ્યા (3+1) બરાબર 12, પછી પાછળ 25 જોડાય છે
5 ની પહેલાંનો ભાગ એટલે 3, અને એને પોતાના કરતાં એક વધુ સંખ્યા વડે ગુણો: 3 ગુણ્યા 4 બરાબર 12. પછી પાછળ 25 જોડતાં 12 | 25 = 1225 મળે, જે ખરેખર 35 નો વર્ગ છે. વિકલ્પ A ખોટી રીતે 15 જોડે છે; 5 થી પૂરી થતી સંખ્યાના વર્ગના છેલ્લા બે અંક હંમેશા 25 જ હોય છે. વિકલ્પ C 3 ગુણ્યા 4 ને બદલે 3 ગુણ્યા 3 વાપરે છે, એટલે 'આગળના કરતાં એક વધુ' નો આખો મુદ્દો જ ચૂકી જાય છે. વિકલ્પ D કોઈ આધાર વગરનું અડસટ્ટે કરેલું અનુમાન છે. નિયમ ચોક્કસ છે: આગળનો ભાગ ગુણ્યા (આગળનો ભાગ + 1), પછી 25.
Think first
'આગળનો ભાગ ગુણ્યા એક વધુ, પછી 25' કેમ કામ કરે છે?
આગળના ભાગને પછીના integer વડે ગુણીને પાછળ 25 જોડવાથી બરાબર વર્ગ કેમ મળી જાય છે? વિચારીને પછી tap કરો.
Show the answer
કારણ કે આ (10a + 5) નો વર્ગ કરવાનું algebra જ છે, જ્યાં a એટલે આગળનો ભાગ. 5 થી પૂરી થતી કોઈ પણ સંખ્યાને 10a + 5 તરીકે લખી શકાય (65 માટે a બરાબર 6, એટલે 60 + 5). હવે એનો વર્ગ કરો: (10a + 5) નો વર્ગ બરાબર 100a નો વર્ગ વત્તા 2(10a)(5) વત્તા 25, એટલે કે 100a નો વર્ગ વત્તા 100a વત્તા 25, જેને 100 ગુણ્યા (a નો વર્ગ વત્તા a) વત્તા 25 લખાય, અને છેવટે 100 ગુણ્યા a(a + 1) વત્તા 25.
હવે આ પરિણામ વાંચો: a(a + 1) એટલે જ 'આગળનો ભાગ ગુણ્યા પોતાના કરતાં એક વધુ' (a બરાબર 6 હોય તો 6 ગુણ્યા 7 બરાબર 42), અને એને 100 વડે ગુણવાથી એ સોના સ્થાને ખસી જાય છે, જ્યારે વત્તા 25 છેલ્લા બે અંક 25 તરીકે નક્કી કરી દે છે. એટલે 65 નો વર્ગ થયો 100 ગુણ્યા 42 વત્તા 25, એટલે કે 4200 વત્તા 25 બરાબર 4225, જે બરાબર '42 પછી 25' નિયમ આપે છે એ જ છે.
પાછળ જોડાતું 25 એ કોઈ યોગાનુયોગ નથી; એ સીધું 5 ના વર્ગવાળા પદમાંથી જ નીકળે છે. એટલે આ સૂત્ર એક સ્વચ્છ algebraic નિયમને યાદ રહી જાય એવા સ્વરૂપમાં બાંધી આપે છે, અને એટલે જ એ 5 થી પૂરી થતી દરેક સંખ્યા માટે હંમેશા કામ કરે છે, અને એટલે જ આગળના ભાગને પોતાના વડે નહીં પણ 'પોતાના કરતાં એક વધુ' વડે ગુણવામાં આવે છે. સાદો નિયમ, સુંદર ટૂંકી રીત.
Summary
Key takeaways
- Ekadhikena Purvena ('આગળના કરતાં એક વધુ વડે') 5 થી પૂરી થતી કોઈ પણ સંખ્યાનો વર્ગ કાઢી આપે છે.
- 5 ની પહેલાંનો ભાગ લો, એને પોતાના કરતાં એક વધુ સંખ્યા વડે ગુણો, પછી પાછળ 25 જોડો.
- 65 નો વર્ગ: 6 ગુણ્યા 7 બરાબર 42, પાછળ 25 જોડતાં 4225; 25 નો વર્ગ 625; 35 નો વર્ગ 1225.
- છેલ્લા બે અંક હંમેશા 25 જ રહે છે, એટલે ફક્ત આગળનો નાનો ગુણાકાર જ બદલાય છે.
- એ કામ કરે છે કારણ કે (10a + 5) નો વર્ગ બરાબર 100 ગુણ્યા a(a + 1) વત્તા 25, જે સાદું algebra છે.
- આ પદ્ધતિ ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી છે.
- યાદ રાખવાની કડી: આગળનો ભાગ ગુણ્યા પછીની સંખ્યા, પછી છેડે 25 ચોંટાડો.