Sankalana-Vyavakalanabhyam: By addition and by subtraction

📖 Theory

બે સમીકરણ, બે unknown

ધારો કે બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 10 છે અને એમનો તફાવત 4 છે. એ સંખ્યાઓ કઈ? આ simultaneous સમીકરણો ની જોડ છે, અને Sankalana-Vyavakalanabhyam સૂત્ર, એટલે કે 'સરવાળા વડે અને બાદબાકી વડે', એમને અદ્ભુત સફાઈથી ઉકેલી આપે છે.

વિચાર છે elimination નો: એક unknown કાપી નાખવા બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરો, અને બીજું કાપી નાખવા બાદબાકી કરો. દરેક ક્રિયા પછી એક જ સાદું સમીકરણ બાકી રહે છે. આ પાઠ પદ્ધતિને ચકાસેલા દાખલા સાથે ગણી બતાવે છે અને code માં લખે છે, અને એ ફરી ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી છે.

📖 Theory

સરવાળે એક જાય, બાદબાકીએ બીજું

આ system લો:

x + y = 10

x - y = 4

બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરો: +y અને -y કપાઈ જાય છે, અને બાકી રહે 2x = 14, એટલે x = 7.

હવે પહેલામાંથી બીજું બાદ કરો: x વાળાં પદ કપાઈ જાય છે, અને બાકી રહે 2y = 6, એટલે y = 3.

એટલે x બરાબર 7 અને y બરાબર 3. ચકાસો: 7 વત્તા 3 બરાબર 10, અને 7 ઓછા 3 બરાબર 4, એટલે બંને મૂળ સમીકરણ સચવાય છે. એક સરવાળો અને એક બાદબાકી, અને બંને જવાબ મળી ગયા; ન કોઈ substitution, ન કોઈ fraction. સમીકરણો સમમિત રીતે ગોઠવાયેલાં હોય ત્યારે આ સૂત્ર એના શ્રેષ્ઠ સ્વરૂપમાં દેખાય છે.

⌨️ Practical

સરવાળા અને બાદબાકીથી ઉકેલનાર (ચકાસેલું)

def solve_sum_diff(s, d):
    # x + y = s ;  x - y = d
    x = (s + d) / 2   # સમીકરણો ઉમેરો:  2x = s + d
    y = (s - d) / 2   # બાદ કરો:            2y = s - d
    return x, y

print(solve_sum_diff(10, 4))   # (7.0, 3.0)
# સરવાળો -> 2x = 14 -> x = 7 ; બાદબાકી -> 2y = 6 -> y = 3

This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.

✏️ Formula

સરવાળો અને બાદબાકી કેમ ચાલે છે

બે સમીકરણો ઉમેરવાં માન્ય છે કારણ કે સરખામાં સરખું ઉમેરો તો સરખું જ રહે છે: જો x + y = 10 અને x - y = 4 હોય, તો બંને ડાબી બાજુઓનો સરવાળો બંને જમણી બાજુઓના સરવાળા બરાબર થાય, એટલે (x + y) વત્તા (x - y) બરાબર 10 વત્તા 4, જે સાદું થઈને 2x = 14 બને છે.

y વાળું પદ અદૃશ્ય થઈ જાય છે કારણ કે +y અને -y એકબીજાને કાપી નાખે છે; અહીં સરવાળો પસંદ કરવાનો આખો હેતુ એ જ છે. એને બદલે બાદબાકી કરો તો x વાળાં પદ કપાય છે. એટલે તમે સરવાળો કે બાદબાકી બરાબર એટલા માટે પસંદ કરો છો કે એક unknown ગાયબ થઈ જાય અને એક ચલવાળું સમીકરણ બાકી રહે, જે તરત ઉકેલી શકાય. આ transposition જેવો જ સંતુલનનો સિદ્ધાંત છે, પણ આખા સમીકરણ પર લગાડેલો.

🧩 Quiz

સરવાળા અને બાદબાકી વડે x + y = 10 અને x - y = 4 ઉકેલો. x અને y કેટલા થાય?

1. x = 3, y = 7
2. x = 7, y = 3, કારણ કે સરવાળે 2x = 14 (x = 7) અને બાદબાકીએ 2y = 6 (y = 3) મળે છે
3. x = 14, y = 6
4. x = 5, y = 5

💭 Think first

આ સરવાળા-બાદબાકીની રીત ખાસ ક્યારે કામ લાગે છે?

સામાન્ય simultaneous સમીકરણો substitution થી પણ ઉકેલી શકાય છે. તો સરવાળો અને બાદબાકી ક્યારે ચમકે છે? વિચારીને પછી tap કરો.

✅ Summary

Key takeaways

• Sankalana-Vyavakalanabhyam ('સરવાળા વડે અને બાદબાકી વડે') elimination થી simultaneous સમીકરણો ઉકેલે છે.
• એક unknown કાપવા બંને સમીકરણો ઉમેરો; બીજું કાપવા એમને બાદ કરો.
• x + y = 10 અને x - y = 4 માટે: સરવાળે 2x = 14 (x = 7); બાદબાકીએ 2y = 6 (y = 3).
• બંને મૂળ સમીકરણ ચકાસો: 7 વત્તા 3 બરાબર 10 અને 7 ઓછા 3 બરાબર 4.
• Code માં: સરવાળા-તફાવતના સ્વરૂપ માટે x = (s + d)/2 અને y = (s - d)/2.
• સરવાળો કે બાદબાકી ચલને સફાઈથી કાઢી નાખે એવી symmetric systems માટે એ સૌથી સુઘડ છે; 1965 ના પુસ્તકમાંથી.
• યાદ રાખવાની કડી: એક unknown કાઢવા સરવાળો, બીજું કાઢવા બાદબાકી.