Theory
વસ્તુઓ કઈ રીતે બદલાય છે
અત્યાર સુધીનાં ઘણાં સૂત્રો એક જ ગણતરી વિશે હતાં. Chalana-Kalana, એટલે કે 'ગતિ વડે', કંઈક વધુ ગતિશીલ વાત કરે છે: એક કિંમતથી બીજી કિંમત તરફ જતાં quantity કઈ રીતે બદલાય છે. આ વિચારનું સૌથી સહેલું સ્વરૂપ છે તફાવતો નો અભ્યાસ, એટલે કે sequence નું દરેક પદ આગળના પદથી કેટલું ખસે છે.
પુસ્તક આ સિદ્ધાંતને છેક calculus (ફેરફારના દર) સુધી લંબાવે છે, પણ અહીં આપણે એનું સ્પષ્ટ અને ચકાસી શકાય એવું અંકગણિતવાળું સ્વરૂપ જોઈએ છીએ, એટલે કે ક્રમિક તફાવત. હંમેશની જેમ આ ભારતી કૃષ્ણ તીર્થના 1965 ના પુસ્તકમાંથી છે, અને calculus ના પૂરા વિવેચન માટે નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ.
Theory
ક્રમિક તફાવત
વર્ગ સંખ્યાઓ ની sequence લો: 1, 4, 9, 16, 25.
હવે પ્રથમ તફાવત જુઓ, એટલે કે દરેક પદ ઓછા આગળનું પદ: 4 ઓછા 1 બરાબર 3, 9 ઓછા 4 બરાબર 5, 16 ઓછા 9 બરાબર 7, 25 ઓછા 16 બરાબર 9. એટલે પ્રથમ તફાવત થયા 3, 5, 7, 9 (odd સંખ્યાઓ).
હવે દ્વિતીય તફાવત લો, એટલે કે એ તફાવતોના તફાવત: 5 ઓછા 3 બરાબર 2, 7 ઓછા 5 બરાબર 2, 9 ઓછા 7 બરાબર 2. એ constant 2 રહે છે.
એ constant દ્વિતીય તફાવત જ ઓળખની નિશાની છે: એ કહી દે છે કે મૂળ sequence quadratic છે (વર્ગોની). Sequence પોતાના તફાવતોમાં કઈ રીતે 'ખસે' છે એ તપાસવાથી એની અંદરની ભાત ખુલ્લી પડે છે, અને Chalana-Kalana નો મર્મ એ જ છે.
Practical
Python માં ક્રમિક તફાવત (ચકાસેલું)
def differences(seq):
return [seq[i+1] - seq[i] for i in range(len(seq) - 1)]
squares = [1, 4, 9, 16, 25]
d1 = differences(squares) # [3, 5, 7, 9] પ્રથમ તફાવત
d2 = differences(d1) # [2, 2, 2] દ્વિતીય તફાવત (constant)
print(d1) # [3, 5, 7, 9]
print(d2) # [2, 2, 2] -> constant, જે quadratic ભાત જાહેર કરે છેThis example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.
Formula
તફાવત એટલે ફેરફારની discrete બાજુ
તફાવતથી ફેરફાર માપવાનો વિચાર એ calculus ના derivative (એટલે કે તત્ક્ષણ ફેરફારનો દર) વાળા વિચારનો રોજિંદો, integer વાળો ભાઈ છે. Calculus પૂછે છે કે 'આ કોઈ બિંદુએ કેટલી ઝડપે બદલાય છે?', જ્યારે ક્રમિક તફાવત પૂછે છે કે 'એક પગથિયેથી બીજા પગથિયે એ કેટલું બદલાયું?'.
પુસ્તકનું Chalana-Kalana આ બંનેને જોડે છે અને ફેરફારની ભાત વાપરીને ગણતરી તથા તર્ક કરે છે. અહીં આપણે નક્કર તફાવતવાળા સ્વરૂપ પર જ રહીએ છીએ; calculus ના ઉપયોગ માટે નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ. સાર આટલો: sequence સમજવી હોય તો એ કઈ રીતે ખસે છે એ તપાસો.
Quiz
વર્ગ સંખ્યાઓ 1, 4, 9, 16, 25 માટે પ્રથમ તફાવત (દરેક પદ ઓછા આગળનું પદ) કયા થાય?
- 2, 2, 2, 2, બધા સરખા
- 3, 5, 7, 9, odd સંખ્યાઓ
- 1, 4, 9, 16, ફરી વર્ગ સંખ્યાઓ
- 5, 5, 5, 5, બધા 5 બરાબર
Show the answer
3, 5, 7, 9, odd સંખ્યાઓ
દરેક પદમાંથી આગળનું પદ બાદ કરો: 4 ઓછા 1 બરાબર 3, 9 ઓછા 4 બરાબર 5, 16 ઓછા 9 બરાબર 7, 25 ઓછા 16 બરાબર 9, એટલે મળે 3, 5, 7, 9, જે odd સંખ્યાઓ છે. વિકલ્પ A દ્વિતીય તફાવત વર્ણવે છે (3, 5, 7, 9 ના તફાવત 2, 2, 2 થાય), પ્રથમ નહીં. વિકલ્પ C મૂળ sequence જ ફરી લખી નાખે છે, જે તફાવત લેવાનું કામ નથી. વિકલ્પ D ખોટો constant આપે છે. પ્રથમ તફાવત પગથિયે પગથિયે થતો ફેરફાર માપે છે; વર્ગો માટે એ odd સંખ્યાઓ નીકળે છે, અને ફરી તફાવત લેતાં constant 2 મળે છે જે quadratic હોવાની નિશાની છે.
Think first
Constant દ્વિતીય તફાવત વર્ગ (quadratic) ભાત કેમ સૂચવે છે?
વર્ગોના દ્વિતીય તફાવત constant 2 નીકળ્યા. એ constancy quadratic હોવાનું કેમ જાહેર કરે છે? વિચારીને પછી tap કરો.
Show the answer
કારણ કે sequence ના તફાવત લેવા એ function નું differentiation કરવાનું discrete સ્વરૂપ છે, અને દરેક તફાવત 'degree' એક ઓછો કરે છે, એટલે quadratic ને constant થતાં બરાબર બે વાર તફાવત લેવા પડે.
Calculus સાથેની parallel વિચારો. જો કોઈ quantity n ના વર્ગ પ્રમાણે વધે (quadratic, degree 2), તો એના ફેરફારનો દર (પ્રથમ derivative) 2n પ્રમાણે વધે (linear, degree 1), અને એના ફેરફારનો દર (દ્વિતીય derivative) constant રહે (2).
Integer sequence પર ક્રમિક તફાવત પણ એ જ રીતે વર્તે છે: વર્ગો (1, 4, 9, 16, 25) ના પ્રથમ તફાવત 3, 5, 7, 9 નીકળે છે, જે linear ભાત છે (એ નિયત પગલે વધે છે), અને linear ભાતના દ્વિતીય તફાવત constant થાય છે (અહીં 2).
એટલે બરાબર બે વાર તફાવત લીધા પછી constant મળવું એ degree 2 વાળી (quadratic) sequence ની આગવી છાપ છે, બરાબર એ જ રીતે જેમ constant દ્વિતીય derivative quadratic function ની નિશાની છે.
વધુ સામાન્ય રીતે, જે sequence ના k માં તફાવત પહેલી વાર constant થાય એ k degree વાળી polynomial હોય છે: linear માટે એક વાર, quadratic માટે બે વાર, cubic માટે ત્રણ વાર.
એટલે જ analysts અને ગણિતજ્ઞો સંખ્યાઓની sequence પાછળ છુપાયેલું સૂત્ર શોધવા અને ઓળખવા તફાવતના કોષ્ટકો વાપરે છે. Constant દ્વિતીય તફાવત એટલે quadratic; અને તફાવત જે ઊંડાણે સપાટ થાય એ degree જાહેર કરી દે છે. ફેરફારને પૂરતી વાર તફાવત આપો, એટલે એ પોતાની ભાત આપી દે છે.
Summary
Key takeaways
- Chalana-Kalana ('ગતિ વડે') quantities કઈ રીતે બદલાય છે એની વાત કરે છે; એનું સહેલું સ્વરૂપ ક્રમિક તફાવત છે.
- Sequence ના પ્રથમ તફાવત એટલે દરેક પદ ઓછા આગળનું પદ.
- વર્ગો 1, 4, 9, 16, 25 માટે: પ્રથમ તફાવત 3, 5, 7, 9 (odd સંખ્યાઓ).
- દ્વિતીય તફાવત (એ તફાવતોના તફાવત) constant 2 રહે છે, જે quadratic ભાત દર્શાવે છે.
- તફાવત લેવો એ calculus ના derivative (ફેરફારનો દર) નો discrete ભાઈ છે; પુસ્તક આ વિચારને calculus સુધી લંબાવે છે (નિર્ધારિત પુસ્તક જુઓ).
- જે sequence ના k માં તફાવત પહેલી વાર constant થાય એ k degree વાળી polynomial હોય છે.
- યાદ રાખવાની કડી: sequence કઈ રીતે ખસે છે એ તપાસો, એના તફાવત લો; constant દ્વિતીય તફાવત એટલે વર્ગ ભાત.