Sankalana-Vyavakalanabhyam: By addition and by subtraction

Sankalana-Vyavakalanabhyam, by addition and by subtraction, simultaneous equations की एक pair को neatly solve करता है: एक unknown eliminate करने के लिए इन्हें add कीजिए, दूसरे को eliminate करने के लिए इन्हें subtract कीजिए, और दोनों answers पढ़िए।

Theory

दो Equations, दो Unknowns

मान लीजिए दो numbers add होकर 10 बनती हैं, और इनका difference 4 है। ये क्या हैं? यह simultaneous equations की एक pair है, और sutra Sankalana-Vyavakalanabhyam, 'by addition and by subtraction', इन्हें striking neatness से solve करता है।

Idea elimination है: एक unknown cancel करने के लिए दोनों equations को add कीजिए, और दूसरे को cancel करने के लिए इन्हें subtract कीजिए। हर operation एक single simple equation छोड़ता है। यह lesson method को एक verified example के साथ work करता है और इसे code करता है, फिर से Bharati Krishna Tirtha की 1965 की book से।

Theory

Eliminate करने के लिए Add कीजिए, Eliminate करने के लिए Subtract कीजिए

System लीजिए:

x + y = 10

x - y = 4

दोनों equations को Add कीजिए: +y और -y cancel हो जाते हैं, 2x = 14 छोड़ते हुए, तो x = 7।

पहले से दूसरे को Subtract कीजिए: x terms cancel हो जाते हैं, 2y = 6 छोड़ते हुए, तो y = 3।

तो x = 7 और y = 3। Check कीजिए: 7 plus 3, 10 है, और 7 minus 3, 4 है, दोनों original equations hold करते हैं। एक addition और एक subtraction ने दोनों answers दिए, कोई substitution नहीं, कोई fractions नहीं। यह sutra इसके सबसे cleanest पर है, जब equations symmetrically set up हैं।

Practical

Add-and-Subtract Solver (verified)

def solve_sum_diff(s, d):
    # x + y = s ;  x - y = d
    x = (s + d) / 2   # add the equations:  2x = s + d
    y = (s - d) / 2   # subtract:           2y = s - d
    return x, y

print(solve_sum_diff(10, 4))   # (7.0, 3.0)
# add -> 2x = 14 -> x = 7 ; subtract -> 2y = 6 -> y = 3

This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.

Formula

Adding और Subtracting क्यों काम करता है

दो equations add करना valid है क्योंकि equals plus equals equal होते हैं: अगर x + y = 10 और x - y = 4, तो दोनों left sides दोनों right sides तक sum होते हैं, (x + y) + (x - y) = 10 + 4, जो simplify होकर 2x = 14 बनता है।

y term vanish हो जाता है क्योंकि +y और -y cancel होते हैं; यही यहाँ add करना choose करने का पूरा point है। इसके बजाय subtract करना x terms cancel करता है। तो आप exactly precisely एक unknown disappear कराने के लिए add या subtract choose करते हैं, एक one-variable equation छोड़ते हुए जिसे आप तुरंत solve कर सकते हैं। Transposition का same balance principle, एक पूरे equation पर applied।

Quiz

Addition और subtraction से x + y = 10 और x - y = 4 solve कीजिए। x और y क्या हैं?

x = 3, y = 7
x = 7, y = 3, क्योंकि adding 2x = 14 (x = 7) देता है और subtracting 2y = 6 (y = 3) देता है
x = 14, y = 6
x = 5, y = 5

Show the answer

x = 7, y = 3, क्योंकि adding 2x = 14 (x = 7) देता है और subtracting 2y = 6 (y = 3) देता है

Equations add कीजिए: (x + y) + (x - y) = 10 + 4, 2x = 14 देता है, तो x = 7। पहले से दूसरे को subtract कीजिए: (x + y) - (x - y) = 10 - 4, 2y = 6 देता है, तो y = 3। Check कीजिए: 7 + 3 = 10 और 7 - 3 = 4, दोनों hold करते हैं। Option A दोनों values swap करता है (यह 3 - 7 = -4 देगा, +4 नहीं, तो यह दूसरे equation में fail होता है)। Option C आधा करना भूल जाता है: 2x = 14 और 2y = 6, x = 7 और y = 3 देते हैं, 14 और 6 नहीं। Option D (5, 5) sum satisfy करता है पर difference नहीं (5 - 5 = 0, 4 नहीं)। x ढूँढने के लिए add कीजिए, y ढूँढने के लिए subtract कीजिए, फिर आधा कीजिए।

Think first

यह Add-Subtract Method Especially कब Handy है?

General simultaneous equations substitution से भी solve हो सकते हैं। Adding और subtracting कब shine करते हैं? फिर tap कीजिए।

Show the answer

यह तब shine करता है जब system SYMMETRIC है, जब दोनों unknowns matching coefficients के साथ appear होते हैं तो adding या subtracting एक को cleanly cancel करता है, जैसे sum-and-difference form x + y = s, x - y = d में। उस setup में, adding immediately y को kill करता है और subtracting immediately x को kill करता है, तो आप कोई fractions या messy substitution के बिना दो effortless steps में दोनों answers पाते हैं। यह pattern common है: 'दो numbers जिनका sum और difference known है', या ऐसा कोई भी pair of equations जहाँ एक variable का दोनों पर same coefficient (या equal-and-opposite coefficients) है। Substitution के comparison में, जो आपसे एक equation rearrange करने, इसे दूसरे में plug करने, और simplify करने के लिए कहता है, add-and-subtract faster और less error-prone है WHEN coefficients line up करते हैं। ज़्यादा messy systems के लिए जहाँ coefficients match नहीं करते, आप पहले एक coefficient align कराने के लिए एक equation scale कर सकते हैं (जो general elimination method है), या substitution पर fall back कर सकते हैं। तो sutra एक universal solver नहीं है; यह symmetric systems के लिए elimination का elegant special case है, exactly वह kind जो mental-maths और exam problems में अक्सर appear होती है। Sum-and-difference shape recognise कीजिए, और add-and-subtract की तरफ पहुँचिए। Matching coefficients elimination को effortless बनाते हैं।

Summary

Key takeaways

Sankalana-Vyavakalanabhyam ('by addition and by subtraction') elimination से simultaneous equations solve करता है।
एक unknown cancel करने के लिए दोनों equations add कीजिए; दूसरे को cancel करने के लिए इन्हें subtract कीजिए।
x + y = 10 और x - y = 4 के लिए: adding 2x = 14 देता है (x = 7); subtracting 2y = 6 देता है (y = 3)।
दोनों originals check कीजिए: 7 + 3 = 10 और 7 - 3 = 4।
Code में: sum-and-difference form के लिए x = (s + d)/2 और y = (s - d)/2।
यह symmetric systems के लिए सबसे neat है जहाँ adding या subtracting एक variable cleanly eliminate करता है; 1965 की book से।
Memory hook: एक unknown eliminate करने के लिए add कीजिए, दूसरे को eliminate करने के लिए subtract कीजिए।