Shunyam Saamyasamuccaye: When the sum is the same that sum is zero

Shunyam Saamyasamuccaye कहता है जब एक common term, samuccaya, एक equation के दोनों sides पर equally appear होता है, आप इसे zero set कर सकते हैं, जो instantly कुछ equations solve करता है जिन्हें नहीं तो full working चाहिए होती।

Theory

एक Shortcut जो एक Zero Spot करता है

कुछ equations ऐसे दिखते हैं जैसे इन्हें careful algebra चाहिए पर actually कुछ notice करते ही एक answer तक collapse हो जाते हैं। Sutra Shunyam Saamyasamuccaye, 'when the samuccaya is the same, that samuccaya is zero', exactly ऐसे cases spot करने के बारे में है।

Idea: जब equation के across एक certain common term (samuccaya) एक balanced way में appear होता है, आप उस term को zero set कर सकते हैं और solution पढ़ सकते हैं। यह lesson एक clear case दिखाता है; book कई देती है, तो इसे एक entry point की तरह treat कीजिए और बाकी के लिए prescribed text consult कीजिए। हमेशा की तरह, Bharati Krishna Tirtha की 1965 की book से।

Theory

Common-Factor Case

यहाँ एक clean, checkable case है। मान लीजिए एक equation का यह form है:

a times (x + k) = b times (x + k), a और b अलग numbers के साथ।

दोनों sides common factor (x + k) (samuccaya) share करते हैं। चूँकि a और b अलग हैं, दोनों sides equal होने का एकमात्र तरीका यह है कि वह common factor zero हो। तो x + k = 0 set कीजिए, x = -k immediately देते हुए।

Example: 3(x + 4) = 7(x + 4)। Common factor (x + 4) है। इसे zero set कीजिए: x + 4 = 0, तो x = -4। Check कीजिए: 3 times (-4 + 4) = 3 times 0 = 0, और 7 times 0 = 0, दोनों sides 0 हैं। एक line में solved।

Practical

Python में Common-Factor Case (verified)

def solve_common_factor(k):
    # For a*(x + k) = b*(x + k) with a != b, the samuccaya (x + k) must be 0.
    return -k    # x = -k

x = solve_common_factor(4)   # from 3(x+4) = 7(x+4)
print(x)                      # -4

# verify both sides are equal (both zero):
print(3 * (x + 4), 7 * (x + 4))   # 0 0

This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.

Formula

पहले Pattern Recognise कीजिए

इस sutra की power recognition है: algebra के through grind करने से पहले, equation के across एक shared term ढूँढिए। अगर दोनों sides same expression हैं जो अलग constants से multiplied हैं (या book के दूसरे samuccaya patterns में से एक से match करते हैं), आप directly उस shared term को zero set करने के लिए jump कर सकते हैं।

यह पूरी unit का recurring theme है: इनमें से कई techniques एक problem में structure देखने के बारे में हैं तो आप mechanical work shortcut कर सकें। Samuccaya spot कीजिए, इसे zero set कीजिए, done, पर specific pattern confirm कीजिए, जैसा book कई define करती है।

Quiz

Shunyam Saamyasamuccaye इस्तेमाल करके 3(x + 4) = 7(x + 4) solve कीजिए। x क्या है?

x = 4, bracket के अंदर की value
x = -4, क्योंकि common factor (x + 4) zero होना चाहिए, तो x + 4 = 0
x = 10, 3 और 7 add करने से
कोई solution नहीं है, क्योंकि 3, 7 नहीं है

Show the answer

x = -4, क्योंकि common factor (x + 4) zero होना चाहिए, तो x + 4 = 0

दोनों sides common factor (x + 4) share करते हैं, और चूँकि 3 और 7 अलग हैं, दोनों sides सिर्फ़ तब equal हो सकते हैं जब वह shared factor zero हो। x + 4 = 0 set करने पर x = -4 मिलता है। Check कीजिए: 3 times (-4 + 4) = 0 और 7 times (-4 + 4) = 0, दोनों sides 0 हैं, तो यह काम करता है। Option A wrong sign लेता है (bracket x + 4 है, जो x = -4 पर zero है, +4 पर नहीं)। Option C coefficients का एक unrelated sum invent करता है। Option D वह trap है जिससे sutra बचता है: 3 का 7 के बराबर न होना exactly WHY common factor zero होना चाहिए, यही solution को force करता है, न कि इसका मतलब है कोई नहीं है। Shared samuccaya recognise कीजिए, इसे zero set कीजिए।

Think first

Common Factor यहाँ Zero क्यों होना चाहिए?

a not equal to b के साथ a(x+k) = b(x+k), (x+k) को zero होने के लिए क्यों force करता है? फिर tap कीजिए।

Show the answer

क्योंकि अगर दो DIFFERENT constants से multiplied एक number equal results देता है, वह number सिर्फ़ zero हो सकता है। a(x + k) = b(x + k) देखिए। सब कुछ एक side पर लाइए: a(x + k) - b(x + k) = 0, और common (x + k) factor out कीजिए: (a - b)(x + k) = 0। अब, दो चीज़ों का एक product zero सिर्फ़ तब होता है जब इनमें से कम से कम एक zero हो। यहाँ a और b DIFFERENT हैं, तो (a - b) zero NOT है। तो दूसरा factor zero होना चाहिए: (x + k) = 0, x = -k देते हुए। Intuitively: same quantity (x + k) एक side पर 3 से और दूसरी पर 7 से scaled हो रही है; एकमात्र quantity जो tripled होने के बाद और seven से multiplied होने के बाद same दिखती है वह zero है, क्योंकि 3 times 0 और 7 times 0 दोनों 0 हैं। (x + k) का कोई भी non-zero value दोनों sides पर अलग results देगा (इसे 3 times versus 7 times), equality तोड़ते हुए। तो sutra का claim, 'वह samuccaya zero है', इस factoring argument का एक compact statement है। यह genuine algebra है, एक recognition rule की तरह packaged तो आप एक बार इस पर trust करने पर steps skip कर सकें। अलग multipliers, equal results, सिर्फ़ zero fit करता है।

Summary

Key takeaways

Shunyam Saamyasamuccaye: जब एक common term (samuccaya) equally appear होता है, equation solve करने के लिए इसे zero set कीजिए।
Clear case: a not equal to b के साथ a(x + k) = b(x + k) का मतलब है common factor (x + k) zero होना चाहिए।
तो x + k = 0, directly x = -k देते हुए; जैसे 3(x + 4) = 7(x + 4), x = -4 देता है।
Check कीजिए: दोनों sides x = -4 पर 0 बनते हैं, solution confirm करते हुए।
यह काम करता है क्योंकि (a - b)(x + k) = 0 जिसमें a - b zero नहीं है (x + k) = 0 force करता है।
Book कई samuccaya cases define करती है; यह एक है, बाकी के लिए prescribed text consult कीजिए।
Memory hook: shared term spot कीजिए, samuccaya को zero set कीजिए।