Theory
एक Base के Near Squaring
5 पर end होने वाली numbers square करने के लिए आपके पास पहले से Ekadhikena है। पर 98, या 103 square करने के बारे में क्या? ये base 100 के near बैठते हैं, और sutra Yavadunam, 'whatever the deficiency', इन्हें दो quick moves में square करता है।
Idea उस deficiency को reuse करता है जिससे आप Nikhilam में मिले थे: number base से कितनी दूर है। यह lesson 100 से ठीक नीचे और ठीक ऊपर की numbers के लिए method दिखाता है, Bharati Krishna Tirtha की 1965 की book से, verified examples के साथ।
Theory
Method
Base 100 के near एक number square करने के लिए, इसकी deficiency d ढूँढिए (100 से कितनी दूर, नीचे होने पर negative, ऊपर होने पर positive), फिर:
- Left part = number plus इसकी deficiency d (तो base से नीचे की एक number के लिए, आप इसे shortfall से कम करते हैं)।
- Right part = d squared, दो digits तक padded (क्योंकि base 100 में दो zeros हैं)।
Example, 98 squared: deficiency d -2 है (100 से 2 नीचे)। Left = 98 + (-2) = 96। Right = (-2) squared = 4, 04 तक padded। Result: 96 | 04 = 9604। और 98 squared 9604 है। दो moves: deficiency से कम कीजिए, फिर deficiency को square कीजिए।
Theory
Base से ऊपर भी
एक positive deficiency (एक excess) इस्तेमाल करते हुए, same rule base से ऊपर की numbers के लिए भी काम करता है।
103 squared: excess d +3 है (100 से 3 ऊपर)। Left = 103 + 3 = 106। Right = 3 squared = 9, 09 तक padded। Result: 106 | 09 = 10609। और 103 squared 10609 है।
नोटिस कीजिए left part दोनों तरह deficiency add करता है: base से नीचे, d negative है तो आप subtract करते हैं; ऊपर, d positive है तो आप add करते हैं। एक consistent rule, left number plus d है, right d squared है, दोनों directions cover करता है।
Practical
Python में Yavadunam (verified)
def square_near_base(n, base=100):
d = n - base # deficiency: -2 for 98, +3 for 103
left = n + d # number plus its deficiency
right = d * d # square of the deficiency
return left * base + right # combine (base places 'right' correctly)
print(square_near_base(98)) # 9604
print(square_near_base(103)) # 10609This example runs in Gri-Learn on the web, where you can edit it and see the output.
Quiz
Yavadunam इस्तेमाल करते हुए, 98 squared (base 100) क्या है?
- 9204, left 92 और right 04 से
- 9604, क्योंकि deficiency -2 है: left = 98 + (-2) = 96, right = (-2) squared = 04
- 9640, 96 और 40 से
- 9804, क्योंकि 98 रहता है और आप 04 add करते हैं
Show the answer
9604, क्योंकि deficiency -2 है: left = 98 + (-2) = 96, right = (-2) squared = 04
100 से 98 की deficiency -2 है। Left part: 98 + (-2) = 96 (number को इसके 2 के shortfall से कम कीजिए)। Right part: (-2) squared = 4, दो digits तक 04 की तरह padded। Combine कीजिए: 96 | 04 = 9604, जो 98 squared है। Option A left part को over-reduce करता है (-6 या similar इस्तेमाल करते हुए)। Option C right को mis-pad करता है (4, 04 बनता है, 40 नहीं)। Option D left part को बिल्कुल भी reduce करना भूल जाता है। Rule: left number plus इसकी (negative) deficiency है, right deficiency squared है, base के digit count तक padded।
Think first
'Number plus Deficiency, फिर Deficiency Squared' Square क्यों देता है?
यह two-part rule base के near एक number का exact square क्यों produce करता है? फिर tap कीजिए।
Show the answer
क्योंकि यह (base + d) squared की algebra है, जहाँ d deficiency है (जो negative हो सकती है)। Number को B + d की तरह लिखिए, B base के साथ (100) और d deficiency (98 के लिए, d = -2, तो 100 + (-2) = 98; 103 के लिए, d = +3)। इसे square कीजिए: (B + d) squared = B squared + 2Bd + d squared = B(B + 2d) + d squared। अब pieces पढ़िए। पहला piece B times (B + 2d) है; और B + 2d, (B + d) + d के बराबर है, जो NUMBER plus इसकी deficiency है (98 + (-2) = 96, या 103 + 3 = 106), यही LEFT part है। इसे B से multiply करना इसे बस higher place में shift करता है। दूसरा piece d squared है, RIGHT part (98 के लिए वह 4 है, 04 तक padded)। चूँकि B 100 है, left part hundreds में land करता है और d squared last दो digits भरता है, 96 फिर 04, या 9604 देते हुए। तो left के लिए 'number plus deficiency' और right के लिए 'deficiency squared' बस (B + d) squared के दो terms हैं, directly पढ़े गए। यह padding भी explain करता है (d squared उतने digit slots occupy करता है जितने base में zeros हैं) और क्यों method base के ऊपर या नीचे equally काम करता है (d बस अपना sign carry करता है)। फिर से, एक tidy algebraic identity एक memorable rule की तरह dressed। Base-plus-deficiency को square कीजिए, और दोनों parts निकल आते हैं।
Summary
Key takeaways
- Yavadunam ('whatever the deficiency') 100 जैसे एक base के near एक number को square करता है।
- Deficiency d = number - base ढूँढिए (base से नीचे negative, ऊपर positive)।
- Left part = number + d; right part = d squared, base के digit count तक padded।
- 98 squared: d = -2, left = 96, right = 04 -> 9604; 103 squared: d = +3, left = 106, right = 09 -> 10609।
- एक rule दोनों directions cover करता है क्योंकि d अपना sign carry करता है (नीचे subtract, ऊपर add)।
- यह काम करता है क्योंकि (B + d) squared = B(B + 2d) + d squared; 1965 की book से।
- Memory hook: left पर number plus deficiency, right पर deficiency squared।